一、基本概念
代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子。
shazi都知道
1.1 代数式的分类
二、整式运算
2.1 单项式
* 系数：数字因数
* 次数：所有字母的指数和
* 同类项：字母相同，相同字母的指数相同
例题1：指出下列单项式的系数和次数
* 3x2y3x^2y3x2y 系数：3，次数：3
* −25ab3-\frac{2}{5}ab^3−52 ab3 系数：−25-\frac{2}{5}−52 ，次数：4
* πr2\pi r^2πr2 系数：π\piπ，次数：2
2.2 多项式
* 项：组成多项式的每个单项式
* 次数：多项式中次数最高项的次数
* 排列：升幂排列（次数由低到高）、降幂排列（次数由高到低）
例题2：将多项式 3x2−2x3+x−53x^2 - 2x^3 + x - 53x2−2x3+x−5 按降幂排列
解：−2x3+3x2+x−5-2x^3 + 3x^2 + x - 5−2x3+3x2+x−5
2.3 整式加减
法则：合并同类项
例题3：计算 (3x2−2x+1)+(x2+4x−5)(3x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 4x - 5)(3x2−2x+1)+(x2+4x−5)
解：=3x2−2x+1+x2+4x−5= 3x^2 - 2x + 1 + x^2 + 4x - 5=3x2−2x+1+x2+4x−5
=(3x2+x2)+(−2x+4x)+(1−5)= (3x^2 + x^2) + (-2x + 4x) + (1 - 5)=(3x2+x2)+(−2x+4x)+(1−5)
=4x2+2x−4= 4x^2 + 2x - 4=4x2+2x−4
2.4 整式乘法
单项式×单项式
系数相乘，同底数幂相乘
例题4：计算 (−3a2b)×(2ab3)(-3a^2b) \times (2ab^3)(−3a2b)×(2ab3)
解：=(−3×2)×(a2×a)×(b×b3)= (-3×2) \times (a^2×a) \times (b×b^3)=(−3×2)×(a2×a)×(b×b3)
=−6a3b4= -6a^3b^4=−6a3b4
单项式×多项式
用分配律：m(a+b+c)=ma+mb+mcm(a+b+c) = ma+mb+mcm(a+b+c)=ma+mb+mc
例题5：计算 2x(3x2−x+4)2x(3x^2 - x + 4)2x(3x2−x+4)
解：=2x⋅3x2+2x⋅(−x)+2x⋅4= 2x·3x^2 + 2x·(-x) + 2x·4=2x⋅3x2+2x⋅(−x)+2x⋅4
=6x3−2x2+8x= 6x^3 - 2x^2 + 8x=6x3−2x2+8x
多项式×多项式
用分配律逐项相乘
例题6：计算 (x+2)(x−3)(x+2)(x-3)(x+2)(x−3)
解：=x⋅x+x⋅(−3)+2⋅x+2⋅(−3)= x·x + x·(-3) + 2·x + 2·(-3)=x⋅x+x⋅(−3)+2⋅x+2⋅(−3)
=x2−3x+2x−6= x^2 - 3x + 2x - 6=x2−3x+2x−6
=x2−x−6= x^2 - x - 6=x2−x−6
2.5 乘法公式
1. 平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2(a+b)(a−b)=a2−b2
2. 完全平方公式：
* (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a+b)2=a2+2ab+b2
* (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2(a−b)2=a2−2ab+b2
3. 立方和公式：(a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3(a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3
4. 立方差公式：(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3
例题7：利用公式计算
1. (2x+3)(2x−3)=(2x)2−32=4x2−9(2x+3)(2x-3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9(2x+3)(2x−3)=(2x)2−32=4x2−9
2. (x−2)2=x2−2⋅x⋅2+4=x2−4x+4(x-2)^2 = x^2 - 2·x·2 + 4 = x^2 - 4x + 4(x−2)2=x2−2⋅x⋅2+4=x2−4x+4
3. (x+1)(x2−x+1)=x3+1(x+1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1(x+1)(x2−x+1)=x3+1
三、因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式。
3.1 常用方法
1. 提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)ma+mb+mc = m(a+b+c)ma+mb+mc=m(a+b+c)
2. 公式法：利用乘法公式逆运算
3. 分组分解法：分组后提公因式或用公式
4. 十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)x^2 + (p+q)x + pq = (x+p)(x+q)x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
注意不是十字交叉相乘法
例题8：因式分解
1. 3x2y−6xy2=3xy(x−2y)3x^2y - 6xy^2 = 3xy(x - 2y)3x2y−6xy2=3xy(x−2y)
2. x2−4=(x+2)(x−2)x^2 - 4 = (x+2)(x-2)x2−4=(x+2)(x−2)
3. x2+5x+6=(x+2)(x+3)x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)x2+5x+6=(x+2)(x+3)
4. x2−4x+4=(x−2)2x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2x2−4x+4=(x−2)2
四、分式
4.1 基本性质
AB=A×MB×M=A÷MB÷M\frac{A}{B} = \frac{A×M}{B×M} = \frac{A÷M}{B÷M}BA =B×MA×M =B÷MA÷M （M≠0）
4.2 分式运算
* 加减：ab±cd=ad±bcbd\frac{a}{b} ± \frac{c}{d} = \frac{ad ± bc}{bd}ba ±dc =bdad±bc
* 乘：ab×cd=acbd\frac{a}{b} × \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}ba ×dc =bdac
* 除：ab÷cd=ab×dc=adbc\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} × \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}ba ÷dc =ba ×cd =bcad
* 乘方：(ab)n=anbn(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}(ba )n=bnan
例题9：计算
1. xx+1+1x−1=x(x−1)+(x+1)(x+1)(x−1)=x2−x+x+1x2−1=x2+1x2−1\frac{x}{x+1} + \frac{1}{x-1} = \frac{x(x-1) + (x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2 - x + x + 1}{x^2-1} = \frac{x^2+1}{x^2-1}x+1x +x−11 =(x+1)(x−1)x(x−1)+(x+1) =x2−1x2−x+x+1 =x2−1x2+1
2. x2−4x+2=(x+2)(x−2)x+2=x−2\frac{x^2-4}{x+2} = \frac{(x+2)(x-2)}{x+2} = x-2x+2x2−4 =x+2(x+2)(x−2) =x−2（x≠-2）
五、综合例题
例题10：先化简，再求值
(x−1)2−(x+2)(x−2)(x-1)^2 - (x+2)(x-2)(x−1)2−(x+2)(x−2)，其中x=3x=3x=3
解：原式 =(x2−2x+1)−(x2−4)= (x^2 - 2x + 1) - (x^2 - 4)=(x2−2x+1)−(x2−4)
=x2−2x+1−x2+4= x^2 - 2x + 1 - x^2 + 4=x2−2x+1−x2+4
=−2x+5= -2x + 5=−2x+5
当x=3x=3x=3时，原式 =−2×3+5=−6+5=−1= -2×3 + 5 = -6 + 5 = -1=−2×3+5=−6+5=−1
例题11：已知a+b=5a+b=5a+b=5，ab=6ab=6ab=6，求a2+b2a^2+b^2a2+b2
解：a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×6=25−12=13a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 5^2 - 2×6 = 25 - 12 = 13a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×6=25−12=13
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总结要点
1. 整式运算要分清系数、次数、同类项
2. 乘法公式要熟练运用正逆两种方向
3. 因式分解要优先考虑提公因式
4. 分式运算要注意分母不为零
5. 化简求值一般先化简再代入
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