代数式

Async #2.0.1

2026-04-30 20:36:14

发布于：浙江

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一、基本概念

代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子。
~~shazi都知道~~

1.1 代数式的分类

代数式
├── 有理式
│   ├── 整式
│   │   ├── 单项式（如：3x², -2a）
│   │   └── 多项式（如：2x+3, a²-2ab+b²）
│   └── 分式（如：1/x, (x+1)/(x-2)）
└── 无理式（如：√x, √(x+1)）

二、整式运算

2.1 单项式

系数：数字因数
次数：所有字母的指数和
同类项：字母相同，相同字母的指数相同

例题1：指出下列单项式的系数和次数

$3x^2y$ 系数：3，次数：3
$-\frac{2}{5}ab^3$ 系数： $-\frac{2}{5}$ ，次数：4
$\pi r^2$ 系数： $\pi$ ，次数：2

2.2 多项式

项：组成多项式的每个单项式
次数：多项式中次数最高项的次数
排列：升幂排列（次数由低到高）、降幂排列（次数由高到低）

例题2：将多项式 $3x^2 - 2x^3 + x - 5$ 按降幂排列
解： $-2x^3 + 3x^2 + x - 5$

2.3 整式加减

法则：合并同类项

例题3：计算 $(3x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 4x - 5)$
解： $= 3x^2 - 2x + 1 + x^2 + 4x - 5$
$= (3x^2 + x^2) + (-2x + 4x) + (1 - 5)$
$= 4x^2 + 2x - 4$

2.4 整式乘法

单项式×单项式

系数相乘，同底数幂相乘

例题4：计算 $(-3a^2b) \times (2ab^3)$
解： $= (-3×2) \times (a^2×a) \times (b×b^3)$
$= -6a^3b^4$

单项式×多项式

用分配律： $m(a+b+c) = ma+mb+mc$

例题5：计算 $2x(3x^2 - x + 4)$
解： $= 2x·3x^2 + 2x·(-x) + 2x·4$
$= 6x^3 - 2x^2 + 8x$

多项式×多项式

用分配律逐项相乘

例题6：计算 $(x+2)(x-3)$
解： $= x·x + x·(-3) + 2·x + 2·(-3)$
$= x^2 - 3x + 2x - 6$
$= x^2 - x - 6$

2.5 乘法公式

平方差公式： $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
完全平方公式：
- $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
立方和公式： $(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$
立方差公式： $(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$

例题7：利用公式计算

$(2x+3)(2x-3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$
$(x-2)^2 = x^2 - 2·x·2 + 4 = x^2 - 4x + 4$
$(x+1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1$

三、因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式。

3.1 常用方法

提公因式法： $ma+mb+mc = m(a+b+c)$
公式法：利用乘法公式逆运算
分组分解法：分组后提公因式或用公式
十字相乘法： $x^2 + (p+q)x + pq = (x+p)(x+q)$

注意不是十字交叉相乘法

例题8：因式分解

$3x^2y - 6xy^2 = 3xy(x - 2y)$
$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$
$x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$
$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$

四、分式

4.1 基本性质

$\frac{A}{B} = \frac{A×M}{B×M} = \frac{A÷M}{B÷M}$ （M≠0）

4.2 分式运算

加减： $\frac{a}{b} ± \frac{c}{d} = \frac{ad ± bc}{bd}$
乘： $\frac{a}{b} × \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$
除： $\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} × \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$
乘方： $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

例题9：计算

$\frac{x}{x+1} + \frac{1}{x-1} = \frac{x(x-1) + (x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2 - x + x + 1}{x^2-1} = \frac{x^2+1}{x^2-1}$
$\frac{x^2-4}{x+2} = \frac{(x+2)(x-2)}{x+2} = x-2$ （x≠-2）

五、综合例题

例题10：先化简，再求值
$(x-1)^2 - (x+2)(x-2)$ ，其中 $x=3$

解：原式 $= (x^2 - 2x + 1) - (x^2 - 4)$
$= x^2 - 2x + 1 - x^2 + 4$
$= -2x + 5$
当 $x=3$ 时，原式 $= -2×3 + 5 = -6 + 5 = -1$

例题11：已知 $a+b=5$ ， $ab=6$ ，求 $a^2+b^2$

解： $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 5^2 - 2×6 = 25 - 12 = 13$

总结要点

整式运算要分清系数、次数、同类项
乘法公式要熟练运用正逆两种方向
因式分解要优先考虑提公因式
分式运算要注意分母不为零
化简求值一般先化简再代入

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