------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
给定一个二次函数 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c 和一个一次函数 y=kx+ty=kx+ty=kx+t(两函数相交),求在两函数的两交点之间的部分,距离最大值。
假设距离最大值为线段 PQPQPQ,其中 PPP 在一次函数上。
设 P(n,kn+t)P(n,kn+t)P(n,kn+t)。
朴素的方法是求出 PQPQPQ 解析式,解出 QQQ 坐标,然后套两点间距离公式,无疑是困难的。
考虑过 PPP 点作 yyy 轴平行线,与二次函数交于点 KKK,显然 K(n,an2+bn+c)K(n,an^2+bn+c)K(n,an2+bn+c)。
此时 P,Q,KP,Q,KP,Q,K 形成了一个直角三角形,由一次函数的性质得,锐角 ∠KPQ\angle KPQ∠KPQ 是固定的。所以当 PQPQPQ 取得最大值时,PKPKPK 取得最大值。
而求 PKPKPK 最大值是简单的,因为横坐标相等,所以只需要纵坐标相减求最大值即可。这是一个二次函数。
求出 PKPKPK 最大值后,使用 ∠KPQ\angle KPQ∠KPQ 的三角函数值即可求出 PQPQPQ 最大值。
可以推广到任意区间,加几个分类讨论即可。