选择题（每题 2 分）
1. 下列 C++ 数据类型中，能够精确存储 1018+110^{18}+11018+1 这个整数的是（）。
A.float B.long long C.double D.int
答案：B
解析： 只有 long long 存的下这个数。
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2. 十六进制数 2F5 转换成八进制数是（）。
A.1364 B.1635 C.1405 D.1365
答案：D
解析： 手算一遍就知道。
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3. 执行下列 C++ 代码，输出是（）。
A.9 B.10 C.7 D.6
答案：C
解析： C++ 整数除法自动向下取整，7 / 3 * 3 = 6，7 % 3 = 1，6 + 1 = 7。
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4. 初始时栈为空，将 1、2、3、4 依次入栈，入栈过程中允许随时出栈。下列出栈序列中不可能出现的是（ ）。
A.2，4，3，1
B.1，2，3，4
C.3，1，2，4
D.1，4，3，2
答案：C
解析： 栈属于后进先出，C 选项弹出 3 时，栈内 2 在 1 上面，不可能先弹出 1 后弹出 2；其他选项均正确。
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5. 一棵有 100 个结点的完全二叉树，其叶子结点个数是（ ）。
A.49 B.50 C.64 D.51
答案：B
解析： 按照 1~100 给这些节点从上到下，左到右排号，节点 n 的左孩子编号为 2n，所以有左孩子的节点应该是 1~50，则 51~100 都是叶子节点。故选 B。
也可直接记公式：
在完全二叉树中，当节点数 n 为偶数时，度为 0 的节点即叶子节点个数为 n2\dfrac{n}{2}2n ，度为 1 的节点个数为 1，度为 2 的节点个数为 n2−1\dfrac{n}{2} - 12n −1 ；
否则，当节点数 n 为奇数时，度为 0 的节点即叶子节点个数为 n−12\dfrac{n - 1}{2}2n−1 ，度为 1 的节点个数为 0，度为 2 的节点个数为 n+12\dfrac{n + 1}{2}2n+1 。
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6. 执行下列代码后 s 的值是（ ）。
A.3048 B.2733 C.2318 D.2418
答案：D
解析： s 算的是 1~100 内 3 的倍数和 5 的倍数，只需要计算
3+6+9+...+99+5+10+15+...+1003 + 6 + 9 + ... + 99 + 5 + 10 + 15 + ... + 100 3+6+9+...+99+5+10+15+...+100
但是会有重复的（能被 15 整除的），所以再减掉
15+30+45+...+9015 + 30 + 45 + ... + 90 15+30+45+...+90
利用等差数列公式计算即可，结果 =2418= 2418=2418
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7.上楼梯每步可上 1 级、2 级或 3 级，从地面（可视为第 0 级）走到第 8 级台阶共有多少种不同走法（ ）。
A.44 B.121 C.149 D.81
答案：D
解析： 这是一个递推数组，状态转移方程为
fi=fi−1+fi−2+fi−3f_i = f_{i - 1} + f_{i - 2} + f_{i - 3} fi =fi−1 +fi−2 +fi−3
其中，f0=1,f1=1,f2=2f_0=1, f_1=1, f_2=2f0 =1,f1 =1,f2 =2 ，求 f8f_8f8 。
解得 f8=81f_8 = 81f8 =81 。
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8.下图为 5×55×55×5 网格，行号、列号均从 0 开始，# 为障碍，. 为可通行格：
从 S 出发做广度优先搜索（BFS）：初始时把 S 入队；每次取出队首格子，按“上、下、左、右”（上＝行号减 1，下＝行号加 1，左＝列号减 1，右＝列号加 1）的顺序遍历它的四个相邻格子，越界、障碍或已访问的格子跳过，其余格子标记为已访问并入队。当 E 第一次入队时，已经入队过的格子（含 S 和 E）共有多少个（ ）。
A.15 B.12 C.14 D.13
答案：C
解析： 同样是手算，题目说啥就做啥。
这里给出模拟结果：
当 S 和 E 入队时，已入队 14 个位置，数字为入队顺序编号，-1 表示未抵达。
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9.满足 1≤n≤1001 \le n \le 1001≤n≤100 且 gcd(n,60)=6gcd(n, 60)=6gcd(n,60)=6 的正整数 nnn 共有多少个（ ）。
A.8 B.6 C.4 D.5
答案：B
解析： 不厌其烦的话，可以一个一个试过去，效率极低，不推荐。
可以令 n=6kn = 6kn=6k 且 1≤k≤161 \le k \le 161≤k≤16，60=6×1060 = 6 \times 1060=6×10 ，则 kkk 与 10 互质。
kkk 的所有取值为 1,3,7,9,11,131, 3, 7, 9, 11, 131,3,7,9,11,13 。
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10.某国硬币面值为 1 元、4 元、6 元且数量不限，凑出 9 元最少需要多少枚（ ）。
A.3 B.4 C.5 D.2
答案：A
解析： 显然，只需要 1 张 1 元和 2 张 4 元，贪心思想在这里是行不通的。
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11.执行以下代码，输出是（ ）。
A.14,13
B.8,13
C.14,7
D.14,2
答案：A
解析： 看上去还可以找相同点蒙这题，但是只会蒙是不行的。
实际上指针 p 指向了 a + 2 的地址，*(p - 1) 是在解引用 a + 2 - 1 ，等价于 a[1] ，p[i] 等价于 a[i + 2] 。
代码等价于下面这段：
输出结果为 14,13 。
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12.在含 1000 个互不相同元素的升序数组中，用二分法查找给定值（返回元素位置或报告不存在），最坏情况下需要与数组元素比较多少次（ ）。
A.500 B.9 C.11 D.10
答案：D
解析： 二分查找法每次排除一半元素，查找 nnn 次最多排除 2n2^n2n 个元素，则 mmm 个元素最多需要 ⌈log2m⌉\lceil log_2 m \rceil⌈log2 m⌉ 次，其中数学符号 ⌈x⌉\lceil x \rceil⌈x⌉ 表示将数 xxx 向上取整。⌈log21000⌉=10\lceil log_2 1000 \rceil = 10⌈log2 1000⌉=10 。故选 D。
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13.数组 a1,a2,...,ana_1, a_2, ..., a_na1 ,a2 ,...,an 的前缀和数组 sss（即 si=a1+a2+...+ais_i=a_1+a_2+...+a_isi =a1 +a2 +...+ai ）满足 si=3i2+is_i=3i^2+isi =3i2+i 。则 a10a_{10}a10 的值是（ ）。
A.252 B.310 C.58 D.61
答案：C
解析： 美妙的是这题貌似也能蒙，但还是记得那句话，算出来的才是对的。
求 a10a_{10}a10 的值可以对 sss 求差分，根据前缀和公式推出 s9+a10=s10s_9 + a_{10} = s_{10}s9 +a10 =s10 ，则只需求出 s9s_9s9 和 s10s_{10}s10 。
题目已给出公式，只需代入计算：
s9=3×92+9=252s10=3×102+10=310a10=310−252=58s_9 = 3 \times 9^2 + 9 = 252 \\ s_{10} = 3 \times 10^2 + 10 = 310 \\ a_{10} = 310 - 252 = 58 s9 =3×92+9=252s10 =3×102+10=310a10 =310−252=58
故选 C。
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14.数轴上有 7 个点，坐标分别为 1、3、4、7、10、15、20。在数轴上选取一个整数坐标点 P，使 P 到这 7 个点的距离之和最小，这个最小距离和是（ ）。
A.37 B.42 C.40 D.38
答案：A
解析： 本题属于初中数学较基础的内容，令点 PPP 离其他所有点距离和最短，只需要牢记以下两点：
* 当点数 nnn 为奇数，则 PPP 需要设置在第 n+12\dfrac{n + 1}{2}2n+1 个点的位置。
* 否则，当点数 nnn 为偶数，则 PPP 需要设置在第 n2\dfrac{n}{2}2n 个点至第 n2+1\dfrac{n}{2} + 12n +1 个点之间的任意位置。
本题点数为奇数，则 PPP 设置在第 7+12\dfrac{7 + 1}{2}27+1 即第 444 个点的位置 777 ，最短距离和 =37= 37=37
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15.一个无向图有 10 个顶点，其中 4 个顶点的度为 3，其余顶点的度均为 4，则该图的边数是（ ）。
A.36 B.18 C.17 D.20
答案：B
解析： 无向图顶点的总度数等于边数的 2 倍，度数 =4×3+6×4=36= 4 \times 3 + 6 \times 4 = 36=4×3+6×4=36 ，则边数是 36÷2=1836 \div 2 = 1836÷2=18 。故选 B。
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程序阅读题
判断题正确为 A，错误为 B，默认分值 1.5；选择题默认分值 3 分。
1.阅读以下程序：
输入的 NNN 均为不超过 232−12^{32} - 1232−1 的非负整数。
（1）（1 分）当输入为 3 时，程序输出为 3 3。（ ）
A.正确 B.错误
（2）将第 11 行的 ++x; 删除后，程序输出的两个数一定相等。（ ）
A.正确 B.错误
（3）假设输入为非负整数，则程序输出的第一个数一定不小于第二个数。（ ）
A.正确 B.错误
（4）将第 7 行的 while (n > 0) 改为 while (n >= 0) 后，程序可能出现的问题是（ ）。
A.陷入死循环 B.输出结果比原来大 C.输出结果比原来小 D.输出结果保持不变
（5）当输入为 6 时，输出为（ ）。
A.3 3 B. 4 2 C.4 3 D.5 2
（6）若输入 nnn 依次取遍 0,1,2,…,231−10,1,2,…,2^{31}−10,1,2,…,231−1 中的所有整数，则程序输出的第二个数恰好为 222 的次数为（ ）。
A.16 B.30 C.31 D.32
答案：A B A A C C
解析：
（1）程序输出的第一个数 xxx 相当于 nnn 的二进制位数 +1+1+1，第二个数 yyy 相当于 nnn 的二进制下 111 的个数 +1+1+1，可以模拟一下（xxx 和 yyy 都是从 111 开始）。故选 A。
循环次数 iii nnn xxx yyy 0（未开始）0（未开始）0（未开始） 333 111 111 111 111 222 222 222 000 333 333
（2）修改后，xxx 意义改为 nnn 的二进制下 000 的个数 +1+1+1 ，yyy 不变。
显然，x≡yx \equiv yx≡y 不一定成立，以 444 为例，它的二进制是 100100100 ，模拟过程：
循环次数 iii nnn xxx yyy 0（未开始）0（未开始）0（未开始） 444 111 111 111 222 222 111 222 111 333 111 333 000 333 222
则 x=3,y=2x = 3, y = 2x=3,y=2 。故选 B。
（3）第一题得出的结论：
程序输出的第一个数 xxx 相当于 nnn 的二进制位数 +1+1+1，第二个数 yyy 相当于 nnn 的二进制下 111 的个数 +1+1+1。
它间接证明 x≥yx \ge yx≥y ，因为二进制总位数一定不小于二进制表示下 111 的个数。故选 A。
（4）根据题中条件，当 nnn 变为 000 时，每次 n /= 2 执行后，nnn 仍为 000 ，导致死循环。故选 A。
（5）666 的二进制表示为 110110110 ，模拟过程：
循环次数 iii nnn xxx yyy 0（未开始）0（未开始）0（未开始） 666 111 111 111 333 222 111 222 111 333 222 333 000 444 333
则 x=4,y=3x = 4, y = 3x=4,y=3。故选 C。
（6）输出的 yyy 恰好为 222 所给出的隐含条件为 nnn 的二进制表示下 111 的个数恰好为 111 ，可以发现 nnn 一定是 2的整数次幂2的整数次幂2的整数次幂 ，在题中范围内，可以是 20,21,22,...,2302^0, 2^1, 2^2, ..., 2^{30}20,21,22,...,230 ，共 31 个。故选 C。
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2.阅读以下程序：
（1）当输入为 123 456 时，程序输出为 0579。（ ）
A.正确 B.错误
（2）假设输入的两个数均不含前导零，则程序输出的结果也一定不会含有前导零。（ ）
A.正确 B.错误
（3）将第 21 行改为 c[i] = a[i] + b[i]; 后，程序输出的结果一定比原来的结果小。（ ）
A.正确 B.错误
（4）当输入为 12345 678 时，输出为（ ）。
A.012923 B.013023 C.13023 D.130230
（5）将第 22 行的 if (c[i] >= 10) 改为 if (c[i] > 10) 后，当输入为 95 15 时，输出为（ ）。
A.01010 B.110 C.140 D.1410
（6）假设输入的两个数均为 nnn 位正整数（不含前导零），且它们的和小于 10n10^n10n
，则程序输出的字符串一定满足（ ）。
A.第一个字符一定不为 '0'
B.长度一定为 nnn
C.长度一定为 n+1n+1n+1，且第一个字符为 '0'
D.长度可能为 n+2n+2n+2
答案：A B B B A C
解析：为避免啰嗦，程序中的 A_LEN 用 N 代替，B_LEN 用 M 代替。
程序变量说明：
a_len 表示 第一个数的位数，b_len 表示 第二个数的位数；
a 数组和 b 数组分别存放输入的两个数（倒序存放，低位在 a[0]，便于计算；
c 数组存放结果，carry 数组处理进位。
（1）输出 c 数组时，从 c[max(n, m)] 到 c[0] 固定输出 max(n, m) + 1 位，123 + 456 的运算中没有向 c[max(n, m)] 进位，所以最高位是 0 ，其余位正常加法运算，得 123+456=579123 + 456 = 579123+456=579 ，加上一位前导零为 057905790579 。故选 A。
（2）根据上题答案即可选出本题答案。两个整数最大长度为 max(n, m) ，若最终没有向第 max(n, m) + 1 位进位，它的值就是 0 。而程序又没有去除前导零，所以输出的数存在有前导零。故选 B。
（3）修改后的程序忽略了 carry 数组，它的作用是处理向上的进位，忽略后可能导致少进位。但是若输入的两个数无法产生任何进位，carry 数组未存放任何数据，输出的结果就与原结果一致。故选 B。
（4）先计算算式的值： 12345+678=1302312345 + 678 = 1302312345+678=13023 。最高位没有产生进位，在最高位补一个前导零，输出为 013023 。故选 B。
（5）修改后的程序判断需要进位的条件从满 10 进一变成了满 11 进一，可能导致某位数输出 10 导致错乱。输入为 95 15 时的计算过程：
先计算个位 5+5=105 + 5 = 105+5=10 ，c[0] = 10 ；
后计算十位 9+1=109 + 1 = 109+1=10 ，c[1] = 10 ；
输出从 c[max(n, m)] 即 c[2] 开始输出，有一位前导零，结果为 01010 。故选 A。
（6）前面题目的规律和证明中，规律已经水落石出。本题的限定条件中，它们的和小于10n10^n10n 意味着最高位不产生进位，会含有前导零，且输出位数固定为 max(n,m)+1max(n, m) + 1max(n,m)+1 即 n+1n + 1n+1 位。故选 C。
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3.阅读以下程序：
（1）当输入为 10 时 程序的输出共有 10 行。（ ）
A.正确 B.错误
（2）若输入的 nnn 不大于 5，则程序的输出中一定包含 5。（ ）
A.正确 B.错误
（3）若输入的 nnn 大于 10，将第 17 行的 for (int i = 0; i <= 9; i++) 改为 for (int i = 1; i <= 9; i += 2) 后，程序的输出结果一定不变。（ ）
A.正确 B.错误
（4）当输入为 24 时，输出的第三行为 （ ）。
A.23 B.29 C.31 D.239
（5）下列关于该程序输出的说法中，正确的是（ ）。
A.输出的数一定按照从小到大的顺序排列
B.随着输入 nnn 的增大，输出的行数一定不会增加
C.输出的数的个位数字只能是 3 或 7
D.输出的每个大于等于 10 的数，十进制下删去它的末位数字后得到的数一定是质数
（6）当输入为 200 时，程序输出的行数为（ ）。
A.12 B.13 C.14 D.15
答案：B A A B D C
解析：
程序操作解析：这是一个递归（深搜 DFS）生成“超级质数”的函数，每次在质数的基础上十进制加一位，若还是质数可以继续加（大于或等于 NNN 则输出并返回），则这些质数的前缀一定也都是质数。
（1）第一轮筛选后剩下的质数有：2,3,5,72, 3, 5, 72,3,5,7 ；递归第二层的质数有：23,29,31,37,53,59,71,73,7923, 29, 31, 37, 53, 59, 71, 73, 7923,29,31,37,53,59,71,73,79 ，它们都大于 101010 ，所以全部输出并返回，共 9 行而非 10 行，错误。故选 B。
（2）若 nnn 不大于 555 ，则 5≥n5 \ge n5≥n ，在第一次执行 search_result() 函数时，第一个分支判定 check_prime() 为质数而不提前返回，在第二个分支必定输出 5 。故选 A。
（3）修改后的程序少执行的 DFS 为 x≥20x \ge 20x≥20 的偶数：
第 17 行的循环只有当本次搜索 xxx 确定为质数时执行，而质数最小是 222 ，则执行 search_result(x * 10 + i) 当 i 是偶数时下一层搜索内的 x 必定是合数，不会影响程序结果。故选 A。
（4）递归状态模拟：只有大于等于 24 的“超级质数”才能输出。
2→23→233（输出）→（返回）23→239（输出）→（返回）23→29（输出）→...2 \rightarrow 23 \rightarrow 233 （输出） \rightarrow （返回）23 \rightarrow 239（输出）\rightarrow （返回）23 \rightarrow 29（输出）\rightarrow ... 2→23→233（输出）→（返回）23→239（输出）→（返回）23→29（输出）→...
可见第 3 个输出的数为 292929 。故选 B。
（5）上题推导过程中可发现，A 选项输出按从小到大并不正确；
B 选项中 nnn 的增大与输出行数有间接联系（如 n=1n = 1n=1 时输出为 2 3 5 7 共 4 行这里省略换行；n=10n = 10n=10 时输出为 23 29 31 37 53 59 71 73 79 共 9 行），故 B 错误；
n=10n = 10n=10 时输出数的个位数存在 1,3,7,91, 3, 7, 91,3,7,9 ，而非只有 3,73, 73,7 ，故 C 错误；
D 选项正确：“超级质数”的形成方式即在一个质数后面添加一个十进制位使其还是质数，当它大于等于 101010 时删去个位必是质数。故选 D。
（6）此题纯硬算题，建议不要花过多时间在这里，算不出来就蒙中间值。
质数前缀只在 3 位数的情况输出并返回，合数永远不输出；所有输出情况为： 233 239 293 311 313 317 373 379 593 599 719 733 739 797 换行符用空格代替，共输出 14 个。故选 C。
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程序设计题
选择题每题 3 分。
1.进制减半
给定 n,mn,mn,m，再给定一个 nmnmnm 进制下的数 AAA，其各个数位上的数按照从高位到低位的顺序给出，请你将其转化为 nnn 进制，并同样按照从高位到低位的顺序输出。
输入的第一行依次为 n,mn,mn,m 和 AAA 的位数 ***，接下来 *** 个数 ad,ad−1,...,a1a_d, a_{d-1}, ..., a_1ad ,ad−1 ,...,a1 从高位到低位描述各个数位上的数。
数据满足 2≤n,m≤10，1≤d≤18，0≤A<2632 \le n,m \le 10，1 \le d \le 18，0 \le A<2^{63}2≤n,m≤10，1≤d≤18，0≤A<263 ，对于所有 1≤i≤d，0≤ai<mn1 \le i \le d，0 \le a_i <mn1≤i≤d，0≤ai <mn 。以下程序按“逐位除以 nnn”的方法完成进制转换。请补全程序。
（1）A.b[j] * n B.b[j] * m C.b[j - 1] * n D. b[j - 1] * m
（2）A.x * n B.x C. 0 D.m
（3）A.b[j] / m B.b[j] % n C.b[j] % m D.b[j] / n
（4）A.b[j] / m B.b[j] % n C.b[j] % m D.b[j] / n
（5）A.len > 0 && b[len - 1] == 0
B.len > 0 && b[0] == 0
C.len > 1 && b[len - 1] == 0
D.len > 1 && b[0] == 0
答案：D B D B C
解析：
题干已给出大致框架，一般不需要过多解释即可做题。
程序变量解释：B 数组存储当前结果的各位数字（低位在前），LEN 表示当前结果的长度。
（1）输入新数位前，需要把已有的结果整体乘以 mmm 。b[j] 由 b[j - 1] 乘 mmm 得到（低位到高位逐位搬运）。
（2）新输入的数位直接放在最低位，即 b[0] 。
（3）进位时，b[j] 除以 nnn 的商加到高位。
（4）进位后，b[j] 保留余数。
（5）去掉高位多余的 0，但至少保留一位（len > 1）。注意 len 是从 1 开始计数的，所以最高位是 b[len - 1] 。
2. 平衡分割
给定一个长度为 nnn 的字符串，其中每个字符都是一个十六进制数位。例如，字符串 016A 表示十进制下的四个数 0,1,6,100, 1, 6, 100,1,6,10。
现在请选择 kkk 个（kkk 是你选定的数）切分位置 p1,p2,…,pkp_1, p_2, \dots, p_kp1 ,p2 ,…,pk ，其中 1≤k<n1 \le k < n1≤k<n，且 1≤p1<p2<...<pk<n1 \le p_1 < p_2 < ... < p_k < n1≤p1 <p2 <...<pk <n。再令 p0=0p_0 = 0p0 =0，pk+1=np_{k+1} = npk+1 =n。
对于每个 0≤i≤k0 \le i \le k0≤i≤k，计算第 pi+1p_i + 1pi +1 个数到第 pi+1p_{i+1}pi+1 个数的平均值，记作 bib_ibi 。你的目标是使 b0,b1,...,bkb_0, b_1, ..., b_kb0 ,b1 ,...,bk 中最大值与最小值之差尽可能小，并输出这个最小值。
其中 2≤n≤202 \le n \le 202≤n≤20。输入字符串中的字符只可能是 0～9 或 A～F。本题假定字符采用 ASCII 编码。输出答案时保留小数点后 666 位。
以下程序通过递归枚举所有可能的连续分段方案。请补全程序。
（1）A.c - (c < '9' ? '0' : 'A' - 10)
B.c - (c < 'A' ? '0' : 'A' - 10)
C.c - (c < 'A' ? 'A' - 10 : '0')
D.c - (c < 'A' ? '0' : 'A' + 10)
（2）A.int r = l + 1; r <= n; ++r
B.int r = l; r < n; ++r
C.int r = l; r <= n; r += 2
D.int r = l; r <= n; ++r
（3）A.sum / (r - l + 1) * 1.0
B.sum * 1.0 / (r - l) + 1
C.sum * 1.0 / (r - l + 1)
D.(sum - a[r]) * 1.0 / (r - l + 1)
（4）A.r + 1, cnt + (r < n), min(mnb, nwb), max(mxb, nwb)
B.r + 1, cnt + (r <= n), min(mnb, nwb), max(mxb, nwb)
C.r + 1, cnt + (r < n), max(mnb, nwb), min(mxb, nwb)
D.r + 1, cnt + (r <= n), max(mnb, nwb), min(mxb, nwb)
（5）A.0, 0, 1e100, -1e100
B.0, 0, -1e100, 1e100
C.1, 0, -1e100, 1e100
D.1, 0, 1e100, -1e100
答案：B D C A D
解析：
（1）十六进制字符转数字：数字 '0' ~ '9' 减 '0'，字母 'A' ~ 'F' 减 'A' - 10。判断条件是 c < 'A'。
（2）枚举当前段的右端点 r ，从 l 到 n，所以是 int r = l; r <= n; ++r 。
（3）当前段 [l, r] 的平均值 = 和 / 长度 = sum * 1.0 / (r - l + 1) 。
（4）下一层起点 r + 1，切分数 cnt + (r < n)（只有没到末尾才切一刀），更新最小值 min(mnb, nwb) ，更新最大值 max(mxb, nwb) 。
（5）初始：从位置 1 开始，切分数 0 ，最小值初始为极大值 1e100 ，最大值初始为极小值 -1e100 。
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最后祝大家 CSP 取得圆满成功！
