篇幅较长警告！！！\red{篇幅较长警告！！！} 篇幅较长警告！！！
（本帖子篇幅较长，请耐心读完）
这是详解函数系列的第二条帖子。如果没看过第一条可以去这里看看。废话不多说，接下来让我们来聊聊一个听上去令人胆战心惊的东西—— 三角函数，继续上篇没写完的内容。
本文主要会向大家介绍：
· 锐角三角比
· 三角恒等式
· 三角函数的定义域扩展
· 三角函数相关的公式
· 正余弦定理及其应用
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什么是三角函数
三角函数最初与我们见面是在六年级，我绝对不会告诉你是在《Mathematics Olympics 2021》收录的六年级竞赛中与我们见面的，当然你不知道这个也没关系，接下来我会向你介绍。
1. 锐角三角比
为什么说最初见面是在六年级？因为三角函数实际上就是直角三角形中线段的比值（六年级知识点：比和比例）。比如，告诉你 Rt△ABCRt_{\triangle ABC}Rt△ABC 中，∠C=90°,AC=4,BC=3,AB=5\angle C=90\degree,AC=4,BC=3,AB=5∠C=90°,AC=4,BC=3,AB=5，求BCAB的值\cfrac{BC}{AB}的值ABBC 的值。看着很简单：这不就是 35\dfrac{3}{5}53 嘛，又有什么？这就是锐角三角比 sinA\sin AsinA，或者叫它三角函数。
（我的某位不愿透露姓名的兄弟）哇塞！我居然看懂了！
三角函数的最初形态就是锐角三角比，建立在直角三角形中。如下图所示，我们一般设 Rt△ABC,∠C=90°Rt_{\triangle ABC},\angle C=90\degreeRt△ABC ,∠C=90°，三个顶点 A、B、CA、B、CA、B、C 所对的边分别长为 a、b、ca、b、ca、b、c。
首先明确一点：三角函数，是 关于角的函数！它把角度作为自变量（也可以是后面介绍的弧度），等角算出来的结果相等。因此，它们具备周期性。
我们以顶点 AAA 为例，计算一下它的各种锐角三角比。首先，我们定义对边比斜边的正弦函数 sinesinesine：
sinA=ac\sin A=\dfrac{a}{c} sinA=ca
以及它的好兄弟邻边比斜边的余弦函数 cosinecosinecosine：
cosA=bc\cos A=\dfrac{b}{c} cosA=cb
这二位真神的简称如上所示，他俩也是所有三角函数的基础。
接下来，我们定义一个稍微复杂点的函数——对边比邻边的正切 tangenttangenttangent：
tanA=sinAcosA=ab\tan A=\dfrac{\sin A}{\cos A}=\dfrac{a}{b} tanA=cosAsinA =ba
正切函数的简写是 tan\tantan，当然你也可以写作 tg\tgtg。
然后我们看看邻边比对边的余切 cotangentcotangentcotangent：
cotA=1tanA=ba\cot A=\dfrac{1}{\tan A}=\dfrac{b}{a} cotA=tanA1 =ab
余切函数简写为 cot\cotcot，你也可以写作 ctg\ctgctg。
到这里就是我们初中所学到的所有锐角三角比了，但并不代表三角函数就这四个。还有两个被人遗忘的函数：正割和余割。
正割 secantsecantsecant 的定义是斜边比邻边，如下：
secA=1cosA=cb\sec A=\dfrac{1}{\cos A}=\dfrac{c}{b} secA=cosA1 =bc
我也不知道为什么正割一定要把 bbb 作为分母而不是 aaa，但是它确实是这样定义的，可能是为了寻求一种特别的美吧。
最后看看余割 cosecantcosecantcosecant 的定义，斜边比对边：
cscA=1sinA=ca\csc A=\dfrac{1}{\sin A}=\dfrac{c}{a} cscA=sinA1 =ac
注意一点：余割的简写并非取前三个字母得到 cos\coscos，因为 cos\coscos 是余弦函数！因此余割的简写较为特殊，改为了 csc\csccsc。
为什么我们说正余弦是最基本的？根据这些定义，tan\tantan 是由 sin\sinsin 和 cos\coscos 作比值得到的，而 cot\cotcot、sec\secsec、csc\csccsc 分别是 tan\tantan、cos\coscos、sin\sinsin 的倒数。不难发现，其余四个三角函数都和正余弦有关。因此，给你一个角度的正余弦，你就可以算出它的正余切和正余割。
当然，你也可以通过上面的定义进行一些等式的恒等变形，比如：
sinA=cosA×tanAcosA=sinAtanA\sin A=\cos A\times\tan A\\\cos A=\cfrac{\sin A}{\tan A} sinA=cosA×tanAcosA=tanAsinA
根据 tanA\tan AtanA 的定义可以轻松证明上面等式。
再比如：
tanAsecA=sinAcosA1cosA=sinA\cfrac{\tan A}{\sec A}=\cfrac{\cfrac{\sin A}{\cos A}}{\cfrac{1}{\cos A}}=\sin A secAtanA =cosA1 cosAsinA =sinA
同理，你可以得到下面的式子。读者自证不难：
secAtanA=cscA\cfrac{\sec A}{\tan A}=\csc A tanAsecA =cscA
下面是常见角度的锐角三角比比值，无穷大符号表示不存在：
0°0\degree0° 30°30\degree30° 45°45\degree45° 60°60\degree60° 90°90\degree90° sin\sinsin 000 12\dfrac{1}{2}21 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}22 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}23 111 cos\coscos 111 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}23 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}22 12\dfrac{1}{2}21 000 tan\tantan 000 33\dfrac{\sqrt{3}}{3}33 111
3\sqrt{3}3 ∞\infty∞ cot\cotcot ∞\infty∞ 3\sqrt{3}3 111 33\dfrac{\sqrt{3}}{3}33 000 sec\secsec 111 233\dfrac{2}{3}\sqrt{3}32 3 2\sqrt{2}2 222 ∞\infty∞ csc\csccsc ∞\infty∞ 222 2\sqrt{2}2 233\dfrac{2}{3}\sqrt{3}32 3 111
除了这些，我们也可以通过作出含 30°30\degree30° 或者 45°45\degree45° 的直角三角形，并以斜边为腰作出等腰三角形，拼出含有 15°15\degree15° 或 22.5°22.5\degree22.5° 的直角三角形。它们的三角比如下所示：
15°15\degree15° 22.5°22.5\degree22.5° 67.5°67.5\degree67.5° 75°75\degree75° sin\sinsin 6−24\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}46 −2 2−22\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}22−2 2+22\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}22+2 6+24\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}46 +2 cos\coscos 6+24\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}46 +2
2+22\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}22+2 2−22\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}22−2 6−24\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}46 −2 tan\tantan 2−32-\sqrt{3}2−3 2−1\sqrt{2}-12 −1 2****qrt{2}+12 +1 2+32+\sqrt{3}2+3 cot\cotcot 2+32+\sqrt{3}2+3 2****qrt{2}+12 +1 2−1\sqrt{2}-12 −1 2−32-\sqrt{3}2−3 sec\secsec
6−2\sqrt{6}-\sqrt{2}6 −2 4−22\sqrt{4-2\sqrt{2}}4−22 4+22\sqrt{4+2\sqrt{2}}4+22 6+2\sqrt{6}+\sqrt{2}6 +2 csc\csccsc 6+2\sqrt{6}+\sqrt{2}6 +2 4+22\sqrt{4+2\sqrt{2}}4+22 4−22\sqrt{4-2\sqrt{2}}4−22 6−2\sqrt{6}-\sqrt{2}6 −2
接着，让我们看看三角函数之间的关联。
2. 三角恒等式
相信大家都听说过 勾股定理。勾股定理的证明可能需要 弦图，常见的弦图有赵爽弦图：
它是从小正方形向外作四个全等的直角三角形得到大正方形，因此得到：
4(12ab)+(a−b)2=c24(\frac{1}{2}ab)+(a-b)^2=c^2 4(21 ab)+(a−b)2=c2
化简得到勾股定理：
a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 a2+b2=c2
当然，还有一种是邹元治弦图：
它是从大正方形向内作四个全等的直角三角形得到小正方形，因此有：
(a+b)2=c2+4(12ab)(a+b)^2=c^2+4(\frac{1}{2}ab) (a+b)2=c2+4(21 ab)
化简得到勾股定理：
a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 a2+b2=c2
有了这些之后，我们就可以正式去看看三角恒等式了。还是那个 Rt△ABC,∠C=90°Rt\triangle_{ABC},\angle C=90\degreeRt△ABC ,∠C=90°，如下图：
我们已经知道了，在这个直角三角形中，有下面这些关系：
{a2+b2=c2sinA=accosA=bc\begin{cases}a^2+b^2=c^2\\\\\sin A=\dfrac{a}{c}\\\\\cos A=\dfrac{b}{c}\end{cases} ⎩⎨⎧ a2+b2=c2sinA=ca cosA=cb
最上面的是刚刚证明过的勾股定理，看上去十分简洁。它包含的项是三边的平方，而下面两个式子正好含有了三边长度，且分母均为 ccc，因此我们也可以用下面两个式子刻意地去构造平方项：
{sin2A=a2c2cos2A=b2c2\begin{cases}\sin^2A=\dfrac{a^2}{c^2}\\\\\cos^2A=\dfrac{b^2}{c^2}\end{cases} ⎩⎨⎧ sin2A=c2a2 cos2A=c2b2
我们发现，这两个式子分母都是斜边的平方，而上面分别是两条直角边的平方，长得很像勾股定理了。现在，将两个式子相加，再代入勾股定理，就得到：
sin2A+cos2A=a2+b2c2=c2c2=1\sin^2A+\cos^2A=\dfrac{a^2+b^2}{c^2}=\dfrac{c^2}{c^2}=1 sin2A+cos2A=c2a2+b2 =c2c2 =1
这个式子和勾股定理长得很像，对吧。实际上，我们带入 c=1c=1c=1 的特殊情况，根据两者的定义，就有 a=sinA,b=cosAa=\sin A,b=\cos Aa=sinA,b=cosA，于是得到了这个三角恒等式。
除此之外，我们利用 tanA\tan AtanA 以及 secA\sec AsecA，也可以得到一个恒等式：
tan2A****ec2A\tan^2A+1=\sec^2A tan2A****ec2A
原因很简单，带入 tanA=ab\tan A=\dfrac{a}{b}tanA=ba ，则左边就是 tan2A+1=a2b2+1=a2+b2b2=c2b2=sec2A\tan^2A+1=\dfrac{a^2}{b^2}+1=\dfrac{a^2+b^2}{b^2}=\dfrac{c^2}{b^2}=\sec^2Atan2A+1=b2a2 +1=b2a2+b2 =b2c2 =sec2A
同理适用于 cotA\cot AcotA 和 cscA\csc AcscA：
cot2A+1=csc2A\cot^2A+1=\csc^2A cot2A+1=csc2A
这个证明和上面很像，读者自证不难。
3. 三角函数的定义域扩展
回顾一下，我们刚才所说的关于三角函数的内容，你会发现它的适用范围很局限：都只存在于欧几里得平面中的直角三角形中（加上这几个字是为了确保三角形内角和是 180°180\degree180°），然而有人会问：为什么我们在计算器中看到的正弦函数图像是一条波浪线啊？而且好像也没有标角度符号啊？别急，接下来我会带你探究一下背后的原因。
3.1. 角度与弧度
我们先来解决一个问题：我们平时所说的测度（如长度、面积、体积）在题目中好像都可以不带单位。比如长度为3个单位，随便是什么单位；面积是9个平方单位，随便试什么单位；体积是27个立方单位，随便是什么单位。然而从来没有看到过题目中说 ∠A=3\angle A=3∠A=3，不带单位 °\degree°（度）有什么办法能够将它的度数符号去掉呢？
我们可以从单位圆中找到灵感：
众所周知，人们探秘了圆的周长和直径之间的比值探秘了好久，但我们都知道它是一个无理数，叫做 π\piπ。因此，我们可以用 π\piπ 来计算圆的周长：
C=πd=2πrC=\pi d=2\pi r C=πd=2πr
那么，如果我们要求圆心角为 θ°\theta\degreeθ° 所对的弧长呢？θ°\theta\degreeθ° 占 360°360\degree360° 的 θ360\dfrac{\theta}{360}360θ 份（我们同时去掉一个度数符号不会发生改变），同理，它所对的弧长 LLL 也占圆周长 CCC 的 θ360\dfrac{\theta}{360}360θ 份，因此，我们有：
L=θ360⋅C=πrθ180L=\dfrac{\theta}{360}\cdot C=\dfrac{\pi r\theta}{180} L=360θ ⋅C=180πrθ
上图是一个单位圆，也就是半径为 111 的圆，因此，L=πθ180L=\dfrac{\pi\theta}{180}L=180πθ 。这个时候，我们成功地把度数符号去掉了。由于单位圆半径为 111，得到了角度 θ\thetaθ 就相当于得到了圆心角所对的弧长 LLL，因此二者等价，我们可以用 LLL 来表示 θ\thetaθ，这就是所谓的弧度制。
我们有了弧度制，就可以去掉角度符号，换成几倍的 π\piπ。比如，(degree)180°=(radian)π(degree)180\degree=(radian)\pi(degree)180°=(radian)π。
你也可以练习一下，把常见角度转换成弧度，知道可以脱口而出下面几个结论：
0°=0,30°=16π,45°=14π,60°=13π,90°=12π0\degree=0,30\degree=\dfrac{1}{6}\pi,45\degree=\dfrac{1}{4}\pi,60\degree=\dfrac{1}{3}\pi,90\degree=\dfrac{1}{2}\pi 0°=0,30°=61 π,45°=41 π,60°=31 π,90°=21 π
120°=23π,135°=34π,150°=56π,180°=π,270°=32π,360°=2π120\degree=\dfrac{2}{3}\pi,135\degree=\dfrac{3}{4}\pi,150\degree=\dfrac{5}{6}\pi,180\degree=\pi,270\degree=\dfrac{3}{2}\pi,360\degree=2\pi 120°=32 π,135°=43 π,150°=65 π,180°=π,270°=23 π,360°=2π
如果有需要，你也可以算算，验证一下下面几个结论：
15°=112π,22.5°=18π,67.5°=38π,75°=512π15\degree=\dfrac{1}{12}\pi,22.5\degree=\dfrac{1}{8}\pi,67.5\degree=\dfrac{3}{8}\pi,75\degree=\dfrac{5}{12}\pi 15°=121 π,22.5°=81 π,67.5°=83 π,75°=125 π
3.2. 扩展定义域
相信你已经了解了锐角三角比的定义了，也已经知道了勾股定理。锐角三角比那些根据 sinA\sin AsinA 和 cosA\cos AcosA 的那些定义在任意角的三角比中也完全使用。
我们在小学学过，对于一个角而言，有两种定义，一种是静态定义：
> 角是由有公共端点的两条射线组成的图形，这个公共端点称为角的顶点，两条射线分别称为角的边；这种定义强调图形的静止状态，不涉及任何运动变化
还有一种动态定义如下：
> 角是一条射线绕其端点旋转而形成的图形，旋转前的射线称为始边，旋转后的射线称为终边；旋转的幅度决定了角的度量
当然，我们今天为了研究任意角的三角比（或者说弧度为任意实数的角的三角比），可以参考第二种动态定义，它包含了 [0°,360°][0\degree,360\degree][0°,360°] 的任意角的定义（对于 361°361\degree361°，可以看成是转了一圈又多转了 1°1\degree1°）。
一个好且有效的办法是借助平面直角坐标系，去理解三角函数。如下图所示，
（使用Python进行的绘图，技术原因，省略了坐标轴）
以第二象限角为例，我们按照动态定义，在半径为 rrr 的圆中做出一个角 θ∈(12π,π)\theta\in(\dfrac{1}{2}\pi,\pi)θ∈(21 π,π)，如图所示，绿色线段为始边，红色线段为终边。我们令红色线段与 xxx 轴的 夹角 为 ϕ\phiϕ，过终边与圆的交点 PPP 往 xxx 轴作垂线段，截距 为 yyy，xxx 轴上的 截距 为 xxx（详细见上图）。
由于 rrr 是半径，因此 rrr 恒为正数；然而，xxx 和 yyy 二者 受到象限的影响，从而导致有时为正，有时为负，当在一二象限时 yyy 为正，当在一四象限时 xxx 为正。这也导致在不同象限中，sin\sinsin 和 cos\coscos 函数结果的正负性会有所不同。如图所示的是第二象限的情况，此时，xxx 是在 xxx 轴的负方向上，故为负，而 yyy 在 xxx 轴的上方，故为正。
为什么要构造直角三角形？这是不是很熟悉？刚刚锐角三角比就是在欧式平面内的直角三角形中定义的，而这里正好也有一个欧式平面内的直角三角形，因此，套用刚才的定义：
sinθ=yrcosθ=xr\sin\theta=\cfrac{y}{r}\\\cos\theta=\cfrac{x}{r} sinθ=ry cosθ=rx
因此，我们也有：
tanθ=sinθcosθ=yx\tan\theta=\cfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\cfrac{y}{x} tanθ=cosθsinθ =xy
这三条结论对于任意角都适用。
根据终边所在的象限不同，三者的正负性也有所不同。简单来说可以用一句话概括：ASTCASTCASTC 原则。
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 对应字母 AAA SSS TTT CCC 字母含义解释 allallall，即全部为正 sin\sinsin，只有正弦为正 tan\tantan，只有正切为正 cos\coscos，只有余弦为正
我们能够很轻松地理解第一象限角的三角比恒为正一点，但是其它三点可能有一点难以理解。那么，现在我们来看三个例子，探究一下所谓的 ASTCASTCASTC 原则。
首先，让我们计算 θ=34π\theta=\dfrac{3}{4}\piθ=43 π 的 sin,cos,tan\sin,\cos,\tansin,cos,tan 的值
还是上面这张图，可知：
ϕ=π−θ=14π\phi=\pi-\theta=\dfrac{1}{4}\pi ϕ=π−θ=41 π
因此，就转换成了对应 ϕ\phiϕ 的三角比。如图，过点 PPP 作 PH⊥OHPH\perp OHPH⊥OH 于点 HHH，于是我们有了等腰 Rt△PHORt\triangle_{PHO}Rt△PHO ，其中 ∠PHO=12π\angle_{PHO}=\dfrac{1}{2}\pi∠PHO =21 π。注意到这里我们的 xxx 值为负，因此我们有了：
r=−2x=2y, x=−yr=-\sqrt{2}x=\sqrt{2}y,\,\,x=-y r=−2 x=2 y,x=−y
于是乎，我们可以带入求出我们的三个目标值：
sinθ=yr=y2y=22>0 cosθ=xr=x−2x=−22<0 tanθ=xy=x−x=−1<0\sin\theta=\cfrac{y}{r}=\cfrac{y}{\sqrt{2}y}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}>0\\\,\\ \cos\theta=\cfrac{x}{r}=\cfrac{x}{-\sqrt{2}x}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}<0\\\,\\ \tan\theta=\cfrac{x}{y}=\cfrac{x}{-x}=-1<0sinθ=ry =2 yy =22 >0cosθ=rx =−2 xx =−22 <0tanθ=yx =−xx
=−1<0
所以第二象限角满足 ASTCASTCASTC 原则的 SSS。而且不难发现，在第二象限中，有下面的规律：
sinθ=sinϕ=sin(π−θ) cosθ=−cosϕ=−cos(π−θ) tanθ=−tanϕ=−tan(π−θ)\sin\theta=\sin\phi=\sin(\pi-\theta)\\\,\\ \cos\theta=-\cos\phi=-\cos(\pi-\theta)\\\,\\ \tan\theta=-\tan\phi=-\tan(\pi-\theta)sinθ=sinϕ=sin(π−θ)cosθ=−cosϕ=−cos(π−θ)tanθ=−tanϕ=−tan(π−θ)
这些实际上就是所谓的诱导公式的一部分，后面会提及。
接下来，算一下当 θ=43π\theta=\dfrac{4}{3}\piθ=34 π 时的 sin,cos,tan\sin,\cos,\tansin,cos,tan 值。你可以自己根据上面的文字自行绘图计算，再看看下面的解释。
（依旧是Python绘图）
我们刚刚提到过，ϕ\phiϕ 是终边与 xxx 轴的 夹角，因此它始终是个锐角！当我们的 θ\thetaθ 是第三象限角时（如上图）它会和一部分的 θ\thetaθ 重合，如上。因此，当 θ=43π\theta=\dfrac{4}{3}\piθ=34 π 时，有：
ϕ=θ−π=13π\phi=\theta-\pi=\dfrac{1}{3}\pi ϕ=θ−π=31 π
因此，根据 13π\dfrac{1}{3}\pi31 π 的锐角三角比，以及正负性，我们知道：
r=−2x=−233y,y=3xr=-2x=-\dfrac{2}{3}\sqrt{3}y,y=\sqrt{3}x r=−2x=−32 3 y,y=3 x
所以，带入得到：
sinθ=yr=y−233y=−32<0 cosθ=xr=x−2x=−12<0 tanθ=yx=3xx=3>0\sin\theta=\cfrac{y}{r}=\cfrac{y}{-\dfrac{2}{3}\sqrt{3}y}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}<0\\\,\\ \cos\theta=\cfrac{x}{r}=\cfrac{x}{-2x}=-\dfrac{1}{2}<0\\\,\\ \tan\theta=\cfrac{y}{x}=\cfrac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3}>0sinθ=ry =−32 3 yy =−23 <0cosθ=rx =−2xx
=−21 <0tanθ=xy =x3 x =3 >0
因此第三象限角符合 ASTCASTCASTC 中的 TTT。
同样的，不难发现：
sinθ=−sinϕ=−sin(θ−π) cosθ=−cosϕ=−cos(θ−π) tanθ=tanϕ=tan(θ−π)\sin\theta=-\sin\phi=-\sin(\theta-\pi)\\\,\\ \cos\theta=-\cos\phi=-\cos(\theta-\pi)\\\,\\ \tan\theta=tan\phi=\tan(\theta-\pi)sinθ=−sinϕ=−sin(θ−π)cosθ=−cosϕ=−cos(θ−π)tanθ=tanϕ=tan(θ−π)
最后，看看 θ=116π\theta=\dfrac{11}{6}\piθ=611 π 的情形，依然算出 sin,cos,tan\sin,\cos,\tansin,cos,tan 的值。你依旧应该自己先尝试计算，再往下看。
（仍旧Python绘图）
这次我们得到的关系是 θ+ϕ=2π\theta+\phi=2\piθ+ϕ=2π，因此：
ϕ=2π−θ=16π\phi=2\pi-\theta=\dfrac{1}{6}\pi ϕ=2π−θ=61 π
于是，我们能得到：
r=−2y=233x,x=−3yr=-2y=\dfrac{2}{3}\sqrt{3}x,x=-\sqrt{3}y r=−2y=32 3 x,x=−3 y
带入，有：
sinθ=yr=y−2y=−12<0 cosθ=xr=x233x=32>0 tanθ=yx=y−3y=−33<0\sin\theta=\cfrac{y}{r}=\cfrac{y}{-2y}=-\dfrac{1}{2}<0\\\,\\ \cos\theta=\cfrac{x}{r}=\cfrac{x}{\dfrac{2}{3}\sqrt{3}x}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}>0\\\,\\ \tan\theta=\cfrac{y}{x}=\cfrac{y}{-\sqrt{3}y}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}<0sinθ=ry =−2yy =−21
<0cosθ=rx =32 3 xx =23 >0tanθ=xy =−3 yy =−33 <0
第四象限角明显符合 ASTCASTCASTC 原则的 CCC 这一点。
同时，易发现如下特点：
sinθ=−sinϕ=−sin(2π−θ) cosθ=cosϕ=cos(2π−θ) tanθ=−tanϕ=−tan(2π−θ)\sin\theta=-\sin\phi=-\sin(2\pi-\theta)\\\,\\ \cos\theta=\cos\phi=\cos(2\pi-\theta)\\\,\\ \tan\theta=-\tan\phi=-\tan(2\pi-\theta)sinθ=−sinϕ=−sin(2π−θ)cosθ=cosϕ=cos(2π−θ)tanθ=−tanϕ=−tan(2π−θ)
我们知道，对于 361°361\degree361°，可以写成 360°+1°360\degree+1\degree360°+1°，因此，实际上 361°=1°361\degree=1\degree361°=1°；那么 −1°-1\degree−1° 呢？我们可以加上 360°360\degree360°，得到 359°359\degree359°。概括地说，任意一个角度都可以表示成 n⋅360°+a°(n∈Z,a∈[0°,360°))n\cdot360\degree+a\degree(n\in
Z,a\in[0\degree,360\degree))n⋅360°+a°(n∈Z,a∈[0°,360°))。换成弧度制，就是：RAD=n⋅π+rad(n∈Z,rad∈[0,2π))RAD=n\cdot\pi+rad(n\in Z,rad\in[0,2\pi))RAD=n⋅π+rad(n∈Z,rad∈[0,2π))。
那么，根据这一点，我们就可以将任意角转换成在区间 [0,2π)[0,2\pi)[0,2π) 中的角，因此可以就此求出任意角的三角比。
恭喜你，学会了任意角的三角比。接下来让我们看看六大函数的图像。
1. y=sinxy=\sin{x}y=sinx
2. y=cosxy=\cos{x}y=cosx
3. y=tanxy=\tan{x}y=tanx 或 y=tgxy=\tg{x}y=tgx
4. y=cotxy=\cot{x}y=cotx 或 y=ctgxy=\ctg{x}y=ctgx
5. y=secxy=\sec{x}y=secx
6. y=cscxy=\csc{x}y=cscx
由于六大函数(六大善人)都是以角为自变量的函数，因此它们都是有周期性的。其中，sin,cos,sec,csc\sin,\cos,\sec,\cscsin,cos,sec,csc 都以 2π2\pi2π 为周期，而 tg,ctg\tg,\ctgtg,ctg 都以 π\piπ 为周期。甚至，sin,tg,ctg,csc\sin,\tg,\ctg,\cscsin,tg,ctg,csc 都是奇函数，而 cos,sec\cos,\seccos,sec 是偶函数。
4. 诱导公式
我们在上面已经看到了 π−θ,θ−π,2π−θ\pi-\theta,\theta-\pi,2\pi-\thetaπ−θ,θ−π,2π−θ 它们的正弦、余弦、正切与 θ\thetaθ 的正弦、余弦、正切有什么关系。这都是诱导公式中的一部分。现在，我们来看看到底什么是诱导公式。
4.1. Θ\THETAΘ 和 Θ+2ΠN(N∈Z)\THETA+2\PI N(N\IN Z)Θ+2ΠN(N∈Z)
我们知道，给一个角度加上或减去 360°360\degree360° 的整数倍，它的大小不变。同样适用于弧度，弧度 θ\thetaθ 加上或者减去整数倍的 2π2\pi2π，其大小不变。因为三角函数研究对象是角，显然这两者的三角比的值相等。因此，我们有：
sinθ+2πn=sinθ cosθ+2πn=cosθ tanθ+2πn=tanθ cotθ+2πn=cotθ secθ+2πn=secθ cscθ+2πn=cscθ\sin{\theta+2\pi n}=\sin\theta\\\,\\ \cos{\theta+2\pi n}=\cos\theta\\\,\\ \tan{\theta+2\pi n}=\tan\theta\\\,\\ \cot{\theta+2\pi n}=\cot\theta\\\,\\ \sec{\theta+2\pi n}=\sec\theta\\\,\\ \csc{\theta+2\pi
n}=\csc\thetasinθ+2πn=sinθcosθ+2πn=cosθtanθ+2πn=tanθcotθ+2πn=cotθsecθ+2πn=secθcscθ+2πn=cscθ
4.2. Θ\THETAΘ 和 Θ±Π\THETA±\PIΘ±Π
事实上，不管是 θ+π\theta+\piθ+π 还是 θ−π\theta-\piθ−π，都表示同一个值。我们在上面探究过了，它们满足下面的关系：
sinθ±π=−sinθ cosθ±π=−cosθ tanθ±π=tanθ cotθ±π=cotθ secθ±π=−secθ cscθ±π=−cscθ\sin{\theta±\pi}=-\sin\theta\\\,\\ \cos{\theta±\pi}=-cos\theta\\\,\\ \tan{\theta±\pi}=\tan\theta\\\,\\ \cot{\theta±\pi}=\cot\theta\\\,\\ \sec{\theta±\pi}=-\sec\theta\\\,\\
\csc{\theta±\pi}=-\csc\thetasinθ±π=−sinθcosθ±π=−cosθtanθ±π=tanθcotθ±π=cotθsecθ±π=−secθcscθ±π=−cscθ
4.3. Θ\THETAΘ 和 2Π−Θ2\PI-\THETA2Π−Θ
这也在上面探究过，有以下结论：
sin2π−θ=−sinθ cos2π−θ=cosθ tan2π−θ=−tanθ cot2π−θ=−cotθ sec2π−θ=secθ csc2π−θ=−cscθ \sin{2\pi-\theta}=-\sin\theta\\\,\\ \cos{2\pi-\theta}=\cos\theta\\\,\\ \tan{2\pi-\theta}=-\tan\theta\\\,\\ \cot{2\pi-\theta}=-\cot\theta\\\,\\ \sec{2\pi-\theta}=\sec\theta\\\,\\
\csc{2\pi-\theta}=-\csc\theta\\\,\\sin2π−θ=−sinθcos2π−θ=cosθtan2π−θ=−tanθcot2π−θ=−cotθsec2π−θ=secθcsc2π−θ=−cscθ
4.4. Θ\THETAΘ 和 Π−Θ\PI-\THETAΠ−Θ
这也在上面探究过，结论如下：
sinπ−θ=sinθ cosπ−θ=−cosθ tanπ−θ=−tanθ cotπ−θ=−cotθ secπ−θ=−secθ cscπ−θ=cscθ\sin{\pi-\theta}=\sin\theta\\\,\\ \cos{\pi-\theta}=-\cos\theta\\\,\\ \tan{\pi-\theta}=-\tan\theta\\\,\\ \cot{\pi-\theta}=-\cot\theta\\\,\\ \sec{\pi-\theta}=-\sec\theta\\\,\\
\csc{\pi-\theta}=\csc\thetasinπ−θ=sinθcosπ−θ=−cosθtanπ−θ=−tanθcotπ−θ=−cotθsecπ−θ=−secθcscπ−θ=cscθ
4.5. Θ\THETAΘ 和 12Π−Θ\DFRAC{1}{2}\PI-\THETA21 Π−Θ
事情开始变得有趣了。现在没有 π\piπ 或者 2π2\pi2π，只有 12π\dfrac{1}{2}\pi21 π，即 90°90\degree90°。想一想，什么时候会出现两个角的弧度分别为 θ\thetaθ 和 12π−θ\dfrac{1}{2}\pi-\theta21 π−θ 呢？两角互余！直角三角形！
利用我们最开始的定义，我们知道，sinA=ac\sin A=\cfrac{a}{c}sinA=ca ，它的余角的正弦值为 sinB=bc\sin B=\cfrac{b}{c}sinB=cb 。等一等，这怎么那么眼熟？没错，这正是 cosA\cos AcosA 的值。因此，我们知道了 sin12π−θ=cosθ\sin{\dfrac{1}{2}\pi-\theta}=\cos\thetasin21 π−θ=cosθ。同样的道理，我们知道：
sin12π−θ=cosθ cos12π−θ=sinθ tan12π−θ=cotθ cot12π−θ=tanθ sec12π−θ=cscθ csc12π−θ=secθ\sin{\dfrac{1}{2}\pi-\theta}=\cos\theta\\\,\\ \cos{\dfrac{1}{2}\pi-\theta}=\sin\theta\\\,\\ \tan{\dfrac{1}{2}\pi-\theta}=\cot\theta\\\,\\ \cot{\dfrac{1}{2}\pi-\theta}=\tan\theta\\\,\\
\sec{\dfrac{1}{2}\pi-\theta}=\csc\theta\\\,\\ \csc{\dfrac{1}{2}\pi-\theta}=\sec\thetasin21 π−θ=cosθcos21 π−θ=sinθtan21 π−θ=cotθcot21 π−θ=tanθsec21 π−θ=cscθcsc21 π−θ=secθ
4.6. Θ\THETAΘ 和 Θ+12Π\THETA+\DFRAC{1}{2}\PIΘ+21 Π
更有趣的还在后面。这次不再是两角互余，而是两角之差为 12π\dfrac{1}{2}\pi21 π，该如何计算？
由于各位大佬学过编程，我们可以进行骗分的操作，直接赌它的关系是唯一的，且带入特殊值进行计算，如 θ=16π\theta=\dfrac{1}{6}\piθ=61 π，最后解得两角三角比的关系。但是能否数学意义上的证明它呢？
我们肯定会想到构造大小为 θ\thetaθ 的角和一个直角，使得代数式之间的关系可视化。想想我们能够如何进行转换？上面我们利用了一个直角三角形，那么，这次不妨再用一个与之全等的直角三角形来探究这道题。
这是我们人人熟知的三垂直全等模型。我们不妨令 θ=∠AOP, AP=y, PO=x, AO=OB=r\theta=\angle_{AOP},\,\,AP=y,\,\,PO=x,\,\,AO=OB=rθ=∠AOP ,AP=y,PO=x,AO=OB=r，因此我们可以根据全等得到 OQ=−y, QB=xOQ=-y,\,\,QB=xOQ=−y,QB=x 且 ∠BOP=θ+12π\angle_{BOP}=\theta+\dfrac{1}{2}\pi∠BOP =θ+21 π。
于是乎，我们便有 sinθ=yr\sin\theta=\cfrac{y}{r}sinθ=ry 一个式子。如何考虑 θ+12π\theta+\dfrac{1}{2}\piθ+21 π 的正弦值呢？利用上面已经得到的诱导公式的值，我们可以知道：
sinθ+12π=sinπ−θ−12π=sin12π−θ=cosθ\sin{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}=\sin{\pi-\theta-\dfrac{1}{2}\pi}=\sin{\dfrac{1}{2}\pi-\theta}=\cos\theta sinθ+21 π=sinπ−θ−21 π=sin21 π−θ=cosθ
有了这个模型的辅助，接下来的结论就都可以得到，读者自证不难：
sinθ+12π=cosθ cosθ+12π=−sinθ tanθ+12π=−cotθ cotθ+12π=−tanθ secθ+12π=−cscθ cscθ+12π=secθ\sin{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}=\cos\theta\\\,\\ \cos{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}=-\sin\theta\\\,\\ \tan{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}=-\cot\theta\\\,\\ \cot{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}=-\tan\theta\\\,\\
\sec{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}=-\csc\theta\\\,\\ \csc{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}=\sec\thetasinθ+21 π=cosθcosθ+21 π=−sinθtanθ+21 π=−cotθcotθ+21 π=−tanθsecθ+21 π=−cscθcscθ+21 π=secθ
4.7. Θ\THETAΘ 和 Θ−12Π\THETA-\DFRAC{1}{2}\PIΘ−21 Π
θ\thetaθ 和 θ−12π\theta-\dfrac{1}{2}\piθ−21 π，看着有点眼熟啊。如果我们令 ϕ=θ−12π\phi=\theta-\dfrac{1}{2}\piϕ=θ−21 π，那不就是 ϕ\phiϕ 和 ϕ+12π\phi+\dfrac{1}{2}\piϕ+21 π 的关系吗？
举个例子：我们算过，sinθ+12π=cosθ\sin{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}=\cos\thetasinθ+21 π=cosθ，那么把此处的 θ\thetaθ 换成 ϕ\phiϕ：
sinϕ+12π=cosϕ\sin{\phi+\dfrac{1}{2}\pi}=\cos\phi sinϕ+21 π=cosϕ
接着进行换元：令 ϕ=θ−12π\phi=\theta-\dfrac{1}{2}\piϕ=θ−21 π，于是：
sinϕ−12π+12π=cosϕ−12π\sin{\phi-\dfrac{1}{2}\pi+\dfrac{1}{2}\pi}=\cos{\phi-\dfrac{1}{2}\pi} sinϕ−21 π+21 π=cosϕ−21 π
因此我们得到了：
cosθ−12π=sinθ\cos{\theta-\dfrac{1}{2}\pi}=\sin\theta cosθ−21 π=sinθ
同理，我们可以得到：
sinθ−12π=−cosθ cosθ−12π=sinθ tanθ−12π=−cotθ cotθ−12π=−tanθ secθ−12π=cscθ cscθ−12π=−secθ\sin{\theta-\dfrac{1}{2}\pi}=-\cos\theta\\\,\\ \cos{\theta-\dfrac{1}{2}\pi}=\sin\theta\\\,\\ \tan{\theta-\dfrac{1}{2}\pi}=-\cot\theta\\\,\\ \cot{\theta-\dfrac{1}{2}\pi}=-\tan\theta\\\,\\
\sec{\theta-\dfrac{1}{2}\pi}=\csc\theta\\\,\\ \csc{\theta-\dfrac{1}{2}\pi}=-\sec\thetasinθ−21 π=−cosθcosθ−21 π=sinθtanθ−21 π=−cotθcotθ−21 π=−tanθsecθ−21 π=cscθcscθ−21 π=−secθ
嗯对，读者自证不难。
4.8 一个容易记忆的口诀
我们都很熟悉一个口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，这个经常会出现在网络上各种小说和短视频中。但是它到底是什么意思呢？
4.8.1 奇变偶不变
“奇变偶不变”意思是：三角函数的参数形式是 ±θ+k2π±\theta+\dfrac{k}{2}\pi±θ+2k π，其中 kkk 是奇数则要将三角函数进行改变，kkk 是偶数则不用变。具体怎么变，我们在上面已经看到过了，sin\sinsin 和 cos\coscos 互相转化，tan\tantan 和 cot\cotcot 互相转化，sec\secsec 和 csc\csccsc 互相转化，即对应的“正”函数和“余”函数之间的变化，加上或者减去一个前缀 cococo。
例如，sec52π−θ\sec{\dfrac{5}{2}\pi-\theta}sec25 π−θ 的结果是什么呢？函数的参数是 52π−θ\dfrac{5}{2}\pi-\theta25 π−θ，即 −θ+k2π (k=5)-\theta+\dfrac{k}{2}\pi\,\,(k=5)−θ+2k π(k=5)，因此 kkk 为奇数，函数 sec\secsec 会变成函数 csc\csccsc。放心大胆地给 csc\csccsc 传入一个 θ\thetaθ 作为参数即可，至于其正负性先放一放。
那么，tanθ−3π\tan{\theta-3\pi}tanθ−3π 结果有时什么呢？参数是 θ−3π\theta-3\piθ−3π，或者写成 θ−k2π (k=6)\theta-\dfrac{k}{2}\pi\,\,(k=6)θ−2k π(k=6)，由于 kkk 是偶数，所以函数不用变化，直接写成 tanθ\tan\thetatanθ，至于正负性也暂时放放。
4.8.2 符号看象限
“符号看象限”稍微有点难以理解。我们知道原式的结果是 唯一 的，因此，不妨假设角 θ\thetaθ 是锐角（即第一象限角）。接着找出 ±θ+k2π±\theta+\dfrac{k}{2}\pi±θ+2k π 所在的象限，最后根据 ASTCASTCASTC 原则判断 原函数 传入这个参数的结果是正是负。
举个例子，拿我们上面探究过的 sinθ+12π\sin{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}sinθ+21 π 看看究竟怎么回事：
1. 根据“奇变偶不变”，可以发现 k=1k=1k=1，因此它是奇数，函数需要发生改变，加上前缀 cococo 变成 cosθ\cos\thetacosθ；
2. 根据“符号看象限”，假设 θ\thetaθ 为第一象限角，那么 θ+12π\theta+\dfrac{1}{2}\piθ+21 π 就是第二象限角，而 ASTCASTCASTC 原则提到，第二象限角的 sin\sinsin 值为正，因此符号为正。
综上所述，sinθ+12π=cosθ\sin{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}=\cos\thetasinθ+21 π=cosθ
再随便写一个例子：csc72π−θ\csc{\dfrac{7}{2}\pi-\theta}csc27 π−θ 的值是什么？
1. 根据“奇变偶不变”，可以发现 k=7k=7k=7，是奇数，因此需要发生改变，把 csc\csccsc 去掉 cococo 前缀变成 secθ\sec\thetasecθ；
2. 根据“符号看象限”，假设 θ\thetaθ 为第一象限角（甚至于你可以假设它是一个具体的值，如 14π\dfrac{1}{4}\pi41 π），那么 72−θ ⟺ 32π−θ>32π−12π=π\dfrac{7}{2}-\theta\iff\dfrac{3}{2}\pi-\theta>\dfrac{3}{2}\pi-\dfrac{1}{2}\pi=\pi27 −θ⟺23 π−θ>23 π−21 π=π，因此它是第三象限角。
别忘了 cscθ=1sinθ\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}cscθ=sinθ1 ，也就是说 csc\csccsc 和 sin\sinsin 的正负性保持一致（∞\infty∞ 的情况除外），而 ASTCASTCASTC 中表示第三象限为正的是 TTT，即 tan\tantan，不是 sin\sinsin，因此它的结果是负的，符号为负。
综上所述，csc72−θ=−secθ\csc{\dfrac{7}{2}-\theta}=-\sec\thetacsc27 −θ=−secθ。
5. 和差角公式
让你计算 sinθ+12π\sin{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}sinθ+21 π，我相信这对于你而言一定是轻而易举了。那么，更一般的，如果计算 sinα+β\sin{\alpha+\beta}sinα+β 你应该怎么算呢？
5.1. 正余弦的和角公式
我们不妨像之前一样，再次把目光放在三垂直模型身上。像这样：
（依旧Python绘图）
外层这是一个矩形 ABCDABCDABCD（切记不一定要是正方形！）里面套了一个三垂直模型，已经标出 ∠α\angle\alpha∠α 和 ∠β\angle\beta∠β，我们设 AFAFAF 的长度为 111，以便于后续计算。
我们知道，sinA=ac\sin A=\dfrac{a}{c}sinA=ca ，因此可以恒等变形得到 a=csinAa=c\sin Aa=csinA。特别的，当斜边为 111 时，可以得到 a=sinAa=\sin Aa=sinA。同样的道理，b=cosAb=\cos Ab=cosA。
这样子，∠β\angle\beta∠β 在（用红色标出直角的）直角三角形中的对边 EFEFEF 长度为 sinβ\sin\betasinβ，邻边 AEAEAE 长度为 cosβ\cos\betacosβ。同理可得，最下面的直角三角形中，∠α\angle\alpha∠α 的对边 BEBEBE 长度为 sinαcosβ\sin\alpha\cos\betasinαcosβ，邻边 ABABAB 长度为 cosαcosβ\cos\alpha\cos\betacosαcosβ。
貌似无法继续推出其它边的长度了，但是别忘了我们用的是三垂直模型！因此，我们可以求出 ∠AEB\angle AEB∠AEB 的大小为 12π−α\dfrac{1}{2}\pi-\alpha21 π−α，从而得到 ∠CEF\angle CEF∠CEF 的大小为 α\alphaα。由于先前已经得到了 EF=sinβEF=\sin\betaEF=sinβ，所以，CE=cosαsinβ,CF=sinαsinβCE=\cos\alpha\sin\beta,CF=\sin\alpha\sin\betaCE=cosαsinβ,CF=sinαsinβ。
根据上图，可以得到 ∠BAF=α+β\angle BAF=\alpha+\beta∠BAF=α+β，因此，继续构造直角三角形从而得到 sinα+β\sin{\alpha+\beta}sinα+β 以及 cosα+β\cos{\alpha+\beta}cosα+β 的长度。如图，过 FFF 作 FH⊥ABFH\perp ABFH⊥AB 于 HHH，则有 FH=sinα+β,AH=cosα+βFH=\sin{\alpha+\beta},AH=\cos{\alpha+\beta}FH=sinα+β,AH=cosα+β。
由矩形的判定可以知道，四边形 CFHBCFHBCFHB 为矩形，因此，CF=HB,FH=BCCF=HB,FH=BCCF=HB,FH=BC，于是我们有：
sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβcosα+β=cosαcosβ−sinαsinβ\sin{\alpha+\beta}=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\\cos{\alpha+\beta}=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβcosα+β=cosαcosβ−sinαsinβ
5.2. 正切的和角公式
接着来看看 tanα+β\tan{\alpha+\beta}tanα+β 等于什么。
我们从 tanθ=sinθcosθ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}tanθ=cosθsinθ 的定义出发，可以得到下面的结果：
tanα+β=sinα+βcosα+β=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ−sinαsinβ=sinαcosβcosαcosβ−sinαsinβ+cosαsinβcosαcosβ−sinαsinβ=sinαcosβ(sinαtanα)cosβ−sinα(cosβtanβ)+cosαsinβcosα(sinβtanβ)−(cosαtanα)sinβ=sinαcosβsinαcosβ(1tanα−tanβ)+cosαsinβcosαsinβ(1tanβ−tanα)=tanα1−tanαtanβ+tanβ1−tanαtanβ=tanα+tanβ1−tanαtanβ\,\,\,\,\,\,\,\tan{\alpha+\beta}\\
=\cfrac{\sin{\alpha+\beta}}{\cos{\alpha+\beta}}\\ =\cfrac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}\\ =\cfrac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}+\cfrac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}\\
=\cfrac{\sin\alpha\cos\beta}{(\cfrac{\sin\alpha}{\tan\alpha})\cos\beta-\sin\alpha(\cos\beta\tan\beta)}+\cfrac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha(\cfrac{\sin\beta}{\tan\beta})-(\cos\alpha\tan\alpha)\sin\beta}\\
=\cfrac{\sin\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\cos\beta(\cfrac{1}{\tan\alpha}-\tan\beta)}+\cfrac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\sin\beta(\cfrac{1}{\tan\beta}-\tan\alpha)}\\ =\cfrac{\tan\alpha}{1-\tan\alpha\tan\beta}+\cfrac{\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\\
=\cfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}tanα+β=cosα+βsinα+β =cosαcosβ−sinαsinβsinαcosβ+cosαsinβ =cosαcosβ−sinαsinβsinαcosβ +cosαcosβ−sinαsinβcosαsinβ =(tanαsinα )cosβ−sinα(cosβtanβ)sinαcosβ +cosα(tanβsinβ )−(cosαtanα)sinβcosαsinβ =sinαcosβ(tanα1 −tanβ)sinαcosβ +cosαsinβ(tanβ1
−tanα)cosαsinβ =1−tanαtanβtanα +1−tanαtanβtanβ =1−tanαtanβtanα+tanβ
于是我们历经千辛万苦推导出了正切的和角公式：
tanα+β=tanα+tanβ1−tanαtanβ\tan{\alpha+\beta}=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} tanα+β=1−tanαtanβtanα+tanβ
5.3. 差角公式
形如 sinα+β=⋯\sin{\alpha+\beta}=\cdotssinα+β=⋯ 的公式叫做和角公式。顾名思义，形如 sinα−β=⋯\sin{\alpha-\beta}=\cdotssinα−β=⋯ 的公式叫做差角公式。
差角公式无需再画图推导。我们以 sinα−β\sin{\alpha-\beta}sinα−β 为例。根据有理数的运算法则，可以知道 α−β=α+(−β)\alpha-\beta=\alpha+(-\beta)α−β=α+(−β)，因此：
sinα−β=sinα+(−β)=sinαcos(−β)+cosαsin(−β)=sinαcosβ−cosαsinβ\,\,\,\,\,\,\sin{\alpha-\beta}\\ =\sin{\alpha+(-\beta)}\\ =\sin\alpha\cos(-\beta)+\cos\alpha\sin(-\beta)\\ =\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\betasinα−β=sinα+(−β)=sinαcos(−β)+cosαsin(−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
最后一步只是根据奇函数和偶函数的性质得到。sinx\sin xsinx 是奇函数，因此 sin(−x)=−sinx\sin(-x)=-\sin xsin(−x)=−sinx；cosx\cos xcosx 是偶函数，因此 cos(−x)=cosx\cos(-x)=\cos xcos(−x)=cosx。所以：
sinα−β=sinαcosβ−cosαsinβ\sin{\alpha-\beta}=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta sinα−β=sinαcosβ−cosαsinβ
同样的道理，我们有：
cosα−β=cosαcosβ+sinαsinβ\cos{\alpha-\beta}=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta cosα−β=cosαcosβ+sinαsinβ
还有：
tanα−β=tanα−tanβ1+tanαtanβ\tan{\alpha-\beta}=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} tanα−β=1+tanαtanβtanα−tanβ
这个留给你来证明。（提示：正切的差角公式利用了正切是奇函数这一点）
5.4. 二倍角公式
现在如果让你来算 sin2θ\sin{2\theta}sin2θ，简直易如反掌：
令 α=β=θ\alpha=\beta=\thetaα=β=θ，则 sin2θ=sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ=2sinθcosθ\sin{2\theta}=\sin{\alpha+\beta}=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=2\sin\theta\cos\thetasin2θ=sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ=2sinθcosθ
所以：
sin2θ=2sinθcosθ\sin{2\theta}=2\sin\theta\cos\theta sin2θ=2sinθcosθ
同样的道理：
cos2θ=cos2θ−sin2θ\cos{2\theta}=\cos^2\theta-\sin^2\theta cos2θ=cos2θ−sin2θ
以及：
tan2θ=2tanθ1−tan2θ\tan{2\theta}=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} tan2θ=1−tan2θ2tanθ
特别的，余弦的二倍角公式还可以经过变形，得到：
cos2θ=cos2θ+sin2θ−2sin2θ=1−2sin2θ\cos{2\theta}=\cos^2\theta+\sin^2\theta-2\sin^2\theta=1-2\sin^2\theta cos2θ=cos2θ+sin2θ−2sin2θ=1−2sin2θ
或者：
cos2θ=2cos2θ−cos2θ−sin2θ=2cos2θ−1\cos{2\theta}=2\cos^2\theta-\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1 cos2θ=2cos2θ−cos2θ−sin2θ=2cos2θ−1
于是，进一步变形，我们就得到了：
sin2θ=1−cos2θ2 cos2θ=1+cos2θ2\sin^2\theta=\dfrac{1-\cos{2\theta}}{2}\\\,\\ \cos^2\theta=\dfrac{1+\cos{2\theta}}{2}sin2θ=21−cos2θ cos2θ=21+cos2θ
※5.5. 三倍角公式
这是一个比较冷门的话题。
为了有时候计算一些冷门角度的三角比，比如我的某个兄弟想要探究sin20°，我们可以使用到三倍角公式。
先看看如何推导出三倍角公式：
sin3θ=sinθ+2θ=sinθcos2θ+cosθsin2θ=sinθ(cos2θ−sin2θ)+cosθ(2sinθcosθ)=sinθcos2θ−sin3θ+2sinθcos2θ=3sinθcos2θ−sin3θ=3sinθ(1−sin2θ)−sin3θ=3sinθ−3sin3θ−sin3θ=3sinθ−4sin3θ\,\,\,\,\,\,\sin{3\theta}\\ =\sin{\theta+2\theta}\\ =\sin\theta\cos{2\theta}+\cos\theta\sin{2\theta}\\
=\sin\theta(\cos^2\theta-\sin^2\theta)+\cos\theta(2\sin\theta\cos\theta)\\ =\sin\theta\cos^2\theta-\sin^3\theta+2\sin\theta\cos^2\theta\\ =3\sin\theta\cos^2\theta-\sin^3\theta\\ =3\sin\theta(1-\sin^2\theta)-\sin^3\theta\\ =3\sin\theta-3\sin^3\theta-\sin^3\theta\\
=3\sin\theta-4\sin^3\thetasin3θ=sinθ+2θ=sinθcos2θ+cosθsin2θ=sinθ(cos2θ−sin2θ)+cosθ(2sinθcosθ)=sinθcos2θ−sin3θ+2sinθcos2θ=3sinθcos2θ−sin3θ=3sinθ(1−sin2θ)−sin3θ=3sinθ−3sin3θ−sin3θ=3sinθ−4sin3θ
以及：
cos3θ=cos2θ+θ=cos2θcosθ−sin2θsinθ=(cos2θ−sin2θ)cosθ−(2sinθcosθ)sinθ=cos3θ−sin2θcosθ−2sin2θcosθ=cos3θ−3sin2θcosθ=cos3θ−3(1−cos2θ)cosθ=cos3θ−3cosθ+3cos3θ=4cos3θ−3cosθ\,\,\,\,\,\,\cos{3\theta}\\ =\cos{2\theta+\theta}\\ =\cos{2\theta}\cos\theta-\sin{2\theta}\sin\theta\\
=(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\cos\theta-(2\sin\theta\cos\theta)\sin\theta\\ =\cos^3\theta-\sin^2\theta\cos\theta-2\sin^2\theta\cos\theta\\ =\cos^3\theta-3\sin^2\theta\cos\theta\\ =\cos^3\theta-3(1-\cos^2\theta)\cos\theta\\ =\cos^3\theta-3\cos\theta+3\cos^3\theta\\
=4\cos^3\theta-3\cos\thetacos3θ=cos2θ+θ=cos2θcosθ−sin2θsinθ=(cos2θ−sin2θ)cosθ−(2sinθcosθ)sinθ=cos3θ−sin2θcosθ−2sin2θcosθ=cos3θ−3sin2θcosθ=cos3θ−3(1−cos2θ)cosθ=cos3θ−3cosθ+3cos3θ=4cos3θ−3cosθ
现在是时候帮助我兄弟算出这个诡异的正弦值了：我们设 sin20°=x\sin{20\degree}=xsin20°=x，因为 sin60°=32\sin{60\degree}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}sin60°=23 ，所以可以列出方程：
3x−4x3=323x-4x^3=\dfrac{\sqrt{3}}{2} 3x−4x3=23
但愿我的那个兄弟会解一元三次方程。
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（持续更新中，正在更新正余弦定理篇，全部更新完会加上#创作计划#）
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往期话题：
详解函数#1 针对三大函数的解读
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参考文献：《普林斯顿微积分》
