数列
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目录
> 第 1 章 数列基础
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> > 1.1 什么是数列
> > 1.2 数列分哪些
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> 第 2 章 等差数列
>
> > 2.1 什么是等差数列
> > 2.2 等差数列的递推公式
> > 2.3 等差数列的通项公式
> >
> > > 2.3.1 方法一：递推法
> > > 2.3.2 方法二：叠加法
> > > 2.3.3 方法三：数学归纳法
> > > 2.3.4 公式总结
>
> > 2.4 等差数列的求和公式
> >
> > > 2.4.1 方法一：高斯求和法（倒序相加法）
> > > 2.4.2 方法二：通项代入法
> > > 2.4.3 公式总结
>
> > 2.5 等差数列的二级结论
> >
> > > 2.5.1 中项定理
> > > 2.5.2 下标和相等
> > > 2.5.3 求和公式化简
> > > 2.5.4 项比与和比
第 1 章 数列基础
1.1 什么是数列
1. 数列就是按一定顺序排列的一列数。
像 1,2,31,2,31,2,3 与 3,2,13,2,13,2,1 是两个不同的数列。
2. 项：数列中的每个数，用符号ana_{n}an 表示“第n项”，项也是数列的基本单位。
3. 项数：数列中项的总个数
1.2 数列分哪些
1. 数列根据项数的个数分两种情况：
有限数列：项数固定，如 1,2,3,41,2,3,41,2,3,4
无限数列：项数无限延伸，结尾用 ......... 表示，如 1,2,3,4,...1, 2, 3, 4,...1,2,3,4,...
2. 数列是一种特殊的函数是自变量为离散的数的函数，如下图：
3. 数列图像与函数图像的区别，如下图：
3. 数列的种类有很多，如：
数列类型 例子 核心规律 等差数列 0,2,4,6,8,10,...0,2,4,6,8,10,...0,2,4,6,8,10,... 相邻项差固定 等比数列 2,4,8,16,32,...2,4,8,16,32,...2,4,8,16,32,... 相邻项商固定 周期数列 1,2,1,2,1,2,...1,2,1,2,1,2,...1,2,1,2,1,2,... 项按固定组重复 平方数列 1,4,9,16,25,...1,4,9,16,25,...1,4,9,16,25,... 第n项是n的平方 递推数列
1,1,2,3,5,8,13...1,1,2,3,5,8,13...1,1,2,3,5,8,13... 后项 = 前两项之和
1.3 省略号的重要性
> 米尔嘉在出6,2,8,26,2,8,26,2,8,2这道题时，为什么不单单说6,2,8,26,2,8,26,2,8,2，还一直说到6,2,8,2,10,186,2,8,2,10, 186,2,8,2,10,18呢？那是因为如果她只说“ 6,2,8,26,2,8,26,2,8,2 ”的话，我们无法发现其中的规律其实是圆周率 π 的各位数字的 222 倍。我们还可能得出其他简单的答案。假设题目只是“6,2,8,2,10,...6,2,8,2,10,...6,2,8,2,10,...”的话，我们还可能联想到以下数列。
>
> 6,2,8,2,10,2,12,26,2,8,2,10,2,12,26,2,8,2,10,2,12,2
>
> 有这样的联想也是非常自然的吧。也就是说，在连续的偶数之间放入一个 222 作为间隔。
>
> ——《数学女孩》
1.4 数列的下一项
> “‘数列智力题没有正确答案’这个说法你知道吗？”她问我。
>
> “什么意思呀？”我被弄得丈二和尚摸不着头。
>
> 米尔嘉举了个例子问我：“比如说，你认为 1,2,3,41,2,3,41,2,3,4 接下来的数字是
> 什么？”
>
> 我不假思索地说：“那自然是 555 喽。1,2,3,4,5,...1,2,3,4,5,...1,2,3,4,5,... 这样一直继续下
> 去喽。”
>
> “那可不一定哦。比如 1,2,3,41,2,3,41,2,3,4 后面突然变成 10,20,30,4010,20,30,4010,20,30,40，然后
> 突然又增加到 100,200,300,400,...100,200,300,400,...100,200,300,400,... 这样的数列也是有可能的。”她举
> 出反例。
>
> 我说：“这样的题目太狡猾了。一开始只告诉我 444 个数字，后面的数
> 字却突然增大，这太过分了。1, 2, 3, 4 的后面突然接个 10，这种情况不
> 可能想到啊！”
>
> “是吗？如果照你这么说的话，那要看到第几个数字才算数呢？数列
> 是无限延续的，到底要看到第几个数字才能知道剩下的数字是什么呢？”
> 她反问道。
>
> 我恍然大悟：“原来你所说的‘数列智力题没有正确答案’就是这个意
> 思啊。题目中提供的数字，其后面的变化可能很大，但是，1, 2, 3, 4 后
> 面如果接一个数字 10 的话，作为题目而言太无聊了。”
>
> “可是世上的事情不就是那样吗？谁都不知道接下来会发生什么。事
> 情往往会偏离自己所预想的。”她说到。
>
> ——《数学女孩》
第 2 章 等差数列
2.1 什么是等差数列
定义： 等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数的数列，一般记作{an}\{a_{n}\}{an }
项： 数列的每一个数；数列的第 nnn 项，记为 ana_{n}an
公差： 相邻两项的差值，记为 ddd
首项： 数列的第一项，记为 a1a_{1}a1
项数： 数列中项的个数，记为 nnn
2.2 等差数列的递推公式
因为等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数的数列，一般记作{an}\{a_{n}\}{an }。而这个常数是 ddd 。所以得出：an−1+d=ana_{n-1} + d = a_{n}an−1 +d=an
2.3 等差数列的通项公式
数列的通项公式就是求等差数列的中的任意一项。
2.3.1 方法一：递推法
根据等差数列的定义，我们可以依次写出各项：
* 第 1 项：a1=a1a_{1} = a_{1}a1 =a1
* 第 2 项：a2=a1+da_{2} = a_{1} + da2 =a1 +d
* 第 3 项：a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da_{3} = a_{2} + d = (a_{1} + d) + d = a_{1} + 2da3 =a2 +d=(a1 +d)+d=a1 +2d
* 第 4 项：a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3da_{4} = a_{3} + d = (a_{1} + 2d) + d = a_{1} + 3da4 =a3 +d=(a1 +2d)+d=a1 +3d
* .........
* 第 n 项：an=a1+(n−1)da_{n} = a_{1} + (n - 1)dan =a1 +(n−1)d
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* a4=a2+(4−2)da_{4} = a_{2} + (4 - 2)da4 =a2 +(4−2)d
* a6=a3+(6−3)da_{6} = a_{3} + (6 - 3)da6 =a3 +(6−3)d
* an=am+(n−m)da_{n} = a_{m} + (n - m)dan =am +(n−m)d
2.3.2 方法二：叠加法
1. 根据等差数列的定义，我们可以列出以下等式：
* a2−a1=da_{2} - a_{1} = da2 −a1 =d
* a3−a2=da_{3} - a_{2} = da3 −a2 =d
* a4−a3=da_{4} - a_{3} = da4 −a3 =d
* .........
* an−an−1=da_{n} - a_{n-1} = dan −an−1 =d
2. 将这 (n−1)(n-1)(n−1) 个等式的左边和右边分别相加，得到：
(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+...+(an−an−1)=(n−1)d(a_{2} - a_{1}) + (a_{3} - a_{2}) + (a_{4} - a_{3}) + ... + (a_{n} - a_{n-1}) = (n-1)d(a2 −a1 )+(a3 −a2 )+(a4 −a3 )+...+(an −an−1 )=(n−1)d
3. 左边经过抵消后只剩下 an−a1a_{n} - a_{1}an −a1 ，因此得到：
an−a1=(n−1)da_{n} - a_{1} = (n-1)dan −a1 =(n−1)d
即：an=a1+(n−1)da_{n} = a_{1} + (n-1)dan =a1 +(n−1)d
2.3.3 方法三：数学归纳法
1. 基础步骤：当 n=1n=1n=1 时，a1=a1+(1−1)d=a1a_{1} = a_{1} + (1-1) d = a_{1}a1 =a1 +(1−1)d=a1 ，显然成立。
2. 归纳假设：假设当 n=kn=kn=k 时，通项公式成立，即 ak=a1+(k−1)da_{k} = a_{1} + (k-1) dak =a1 +(k−1)d。
3. 归纳步骤：当 n=k+1n=k+1n=k+1 时，根据等差数列的定义：
ak+1=ak+d=[a1+(k−1)d]+d=a1+kd=a1+[(k+1)−1]da_{k+1} = a_{k} + d = [a_{1} + (k-1)d] + d = a_{1} + kd = a_{1} + [(k+1)-1]dak+1 =ak +d=[a1 +(k−1)d]+d=a1 +kd=a1 +[(k+1)−1]d
因此，当 n=k+1n=k+1n=k+1 时公式也成立。根据数学归纳法原理，通项公式对所有正整数 nnn 都成立。
2.3.4 公式总结
因此等差数列的通项公式为：
an={a1+(n−1)dam+(n−m)d\begin{equation*} a_{n} = \begin{cases} a_{1} + (n-1)d \\ a_{m} + (n-m)d \end{cases} \end{equation*}an ={a1 +(n−1)dam +(n−m)d
2.4 等差数列的求和公式
数列的求和公式就是求数列前 nnn 的和。
2.4.1 方法一：高斯求和法（倒序相加法）
1. 设等差数列的前 nnn 项和为 SnS_{n}Sn ，即 Sn=a1+a2+a3+...+anS_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{n}Sn =a1 +a2 +a3 +...+an 。
2. 将 SnS_{n}Sn 倒序写一遍：Sn=an+an−1+an−2+...+a1S_{n} = a_{n} + a_{n-1} + a_{n-2} + ... + a_{1}Sn =an +an−1 +an−2 +...+a1 。
将两个式子相加：
2Sn=(a1+an)+(a2+an−1)+(a3+an−2)+...+(an+a1)2S_{n} = (a_{1} + a_{n}) + (a_{2} + a_{n-1}) + (a_{3} + a_{n-2}) + ... + (a_{n} + a_{1})2Sn =(a1 +an )+(a2 +an−1 )+(a3 +an−2 )+...+(an +a1 )
3. 根据等差数列的性质，每一对的和都等于 a1+ana_{1} + a_{n}a1 +an ，共有 nnn 对，
因此：2Sn=n(a1+an)2S_{n} = n(a_{1} + a_{n})2Sn =n(a1 +an )
所以：Sn=n(a1+an)÷2S_{n} = n(a_{1} + a_{n}) ÷ 2Sn =n(a1 +an )÷2
2.4.2 方法二：通项代入法
1. 将通项公式 an=a1+(n−1)da_{n} = a_{1} + (n-1) dan =a1 +(n−1)d 代入求和公式：
* a1=a1+0da_{1} = a_{1} + 0da1 =a1 +0d
* a2=a1+1da_{2} = a_{1} + 1da2 =a1 +1d
* a2=a1+2da_{2} = a_{1} + 2da2 =a1 +2d
* .........
* an=a1+(n−1)da_{n} = a_{1} + (n - 1)dan =a1 +(n−1)d
2. 提公因式，得：
na1+[1d+...+(n−1)d]na_{1} + [1d + ... + (n - 1)d]na1 +[1d+...+(n−1)d]
3. 再提一次，得：
na1+[1+...+(n−1)]dna_{1} + [1 + ... + (n - 1)]dna1 +[1+...+(n−1)]d
4. 用高斯求和公式求和：
na1+[(1+n−1)(n−1)÷2]dna_{1} + [(1 + n - 1)(n - 1) ÷ 2]dna1 +[(1+n−1)(n−1)÷2]d
na1+[n(n−1)÷2]dna_{1} + [n(n - 1) ÷ 2]dna1 +[n(n−1)÷2]d
5. 因此得到等差数列前 nnn 项和的另一种形式： Sn=na1+[n(n−1)÷2]dS_{n} = na_{1} + [n(n - 1) ÷ 2]dSn =na1 +[n(n−1)÷2]d
2.4.3 总结
Sn={Sn=n(a1+an)2Sn=na1+n(n−1)2d\begin{equation*} S_{n} = \begin{cases} S_{n} = \frac{n(a_{1} + a_{n})}{2}\\ S_{n} = na_{1} + \frac{n(n - 1)}{2} d \end{cases} \end{equation*}Sn ={Sn =2n(a1 +an ) Sn =na1 +2n(n−1) d
2.5 等差数列如何求公差
1. 公差就是等差数列相邻两项的差。
由此，得：
d=an−an−1d = a_{n} - a_{n - 1}d=an −an−1
2. 因an=a1+(n−1)da_{n} = a_{1} + (n - 1)dan =a1 +(n−1)d
d=(an−a1)÷(n−1)d = (a_{n} - a_{1}) ÷ (n-1)d=(an −a1 )÷(n−1)
3. 因an=am+(n−m)da_{n} = a_{m} + (n - m)dan =am +(n−m)d
d=(an−am)÷(n−m)d = (a_{n} - a_{m}) ÷ (n - m)d=(an −am )÷(n−m)
4. 公式总结
d={d=an−an−1d=(an−a1)÷(n−1)d=(an−am)÷(n−m)\begin{equation*} d = \begin{cases} d = a_{n} - a_{n - 1}\\ d = (a_{n} - a_{1}) ÷ (n-1)\\ d = (a_{n} - a_{m}) ÷ (n - m)\\ \end{cases} \end{equation*}d=⎩⎨⎧ d=an −an−1 d=(an −a1 )÷(n−1)d=(an −am )÷(n−m)
2.5 等差数列的二级结论
二级结论可以让我们在计算时更快更准，当然，把题目转化成 a1a_{1}a1 &\&& ddd的形式也行[1]。
2.5.1 中项定理
若 {an}\{a_{n}\}{an } 为等差数列，则：
2an=an−1+an+12a_{n} = a_{n-1} + a_{n+1}2an =an−1 +an+1
(n≥2)(n \geq 2)(n≥2)
2.5.2 下标和相等
若 m+n=p+q=2km + n = p + q = 2km+n=p+q=2k
则 am+an=ap+aq=2aka_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q} = 2a_{k}am +an =ap +aq =2ak
此式有两层含义，
1. 当 m+n=p+q=2km + n = p + q = 2km+n=p+q=2k 时 am+an=ap+aq=2aka_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q} = 2a_{k}am +an =ap +aq =2ak 成立
2. 等号两边的项数要一样
例：
因为等号左边的项数要等于等号右边的项数[2]
2.5.3 求和公式化简
如果 SmS_{m}Sm 的 mmm 为奇数，那么 SmS_{m}Sm 可以化简[3]
将 mmm 写成 2n−12n-12n−1 的形式
所以，S2n−1=(2n−1)anS_{2n-1} = (2n-1)a_{n}S2n−1 =(2n−1)an
2.5.4 项比与和比
1. 此乃项比：
anbn\frac{a_{n}}{b_{n}} bn an
2. 此乃和比：
SnTn\frac{S_{n}}{T_{n}} Tn Sn
3. 若 Sn,TnS_{n},T_{n}Sn ,Tn 分别是等差数列 {an},{bn}\{a_{n}\},\{b_{n}\}{an },{bn }的前 nnn 项和
n=2m−1n = 2m - 1n=2m−1
因为，S2m−1=(2m−1)amS_{2m-1} = (2m-1)a_{m}S2m−1 =(2m−1)am 和 T2m−1=(2m−1)bmT_{2m-1} = (2m-1)b_{m}T2m−1 =(2m−1)bm
所以：
Sn=(2m−1)amTn=(2m−1)bm\frac{S_{n} = (2m-1)a_{m}}{T_{n} = (2m-1)b_{m}} Tn =(2m−1)bm Sn =(2m−1)am
2.5.5 偶数项和与奇数项和
若 {an}\{a_{n}\}{an } 为等差数列，an=na_{n} = nan =n
令 bn=(−1)nanb_{n} = (-1)^na_{n}bn =(−1)nan ，求 {bn}\{b_{n}\}{bn } 前 nnn 项和 SnS_{n}Sn
。。。会更，等期中后吧QwQ
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1. 「等差数列」重点全在这！公式+二级结论+变形！（看3：47） ↩︎
2. 「等差数列」重点全在这！公式+二级结论+变形！（看8：10） ↩︎
3. 「等差数列」重点全在这！公式+二级结论+变形！（看25：08） ↩︎
