已经预告过了这次的内容（当然会比之前两次的内容还多）。之前我们已经讲过幂函数、指数函数、对数函数的导数，只剩下了三角函数及其反函数，双曲函数及其反函数的导数没有介绍了。
本文围绕以下内容展开：
· 第一重要极限
· 三角函数的导数
· 反三角函数的导数
· 双曲函数的定义
· 双曲函数的导数
· 反双曲函数的导数
10. 三角函数的导数
10.1. 一个重要的极限
我们在正式证明三角函数的导数之前，要来看一个重要的极限，也被称为 第一重要极限。没有这个极限，我们将无法得到所有三角函数的导数。
这个极限是这样的：
x→0limxsinx=1
如果你会洛必达法则，你可能会想：因为 x→0 时分子和分母都趋向于 0，所以可以上下同时求导洛出新的极限为 x→0lim=1cosx=1，但这是错误的，你的证明过程涉及 循环论证，你没有这个极限无法得知 sinx 的导数。
为了证明这个极限，你可以在草稿本上绘制一个半径为 1，圆心角弧度为 x（0<x<2π）的扇形，如图所示：
（熟悉的Python绘图）
因为你这是单位扇形，所以圆心角的弧度就是弧 AB⌢ 的长。过点 A 作 AC⊥OB 于点 C，过点 B 作 BD⊥OB 交 OA 延长线于点 D。
根据三角函数的定义，我们知道在 Rt△AOC 中，sinO=AOAC，因此 AC=sinx。
同样的道理，可以得到 BD=tanx。
由上面的图知道，AC≤AB⌢≤BD，于是我们得到了一个著名的不等式：
sinx≤x≤tanx
将该不等式取倒数，就得到了：
sinx1≥x1≥tanx1
接着，两边同时乘上 sinx，得到：
1≥xsinx≥tanxsinx
因为 tanx=cosxsinx，所以可以化简成：
1≥xsinx≥cosx
现在，我们考虑极限：
x→0+limcosx
因为 cos(0)=1，所以我们知道 x→0+limcosx=x→0+lim1=1，则根据夹逼定理，x→0+limxsinx=1。
很好，我们证明了这个极限——但这只不过是右极限，我们再来看看左极限：
x→0−limxsinx=1
如果我们令 t=−x，那么就有 x=−t，则原极限可以变成：
x→0−limxsinx=t→0+lim−tsin(−t)
因为 sinx 为奇函数，所以 sin(−x)=−sinx，那么，极限进一步化简：
x→0−limxsinx=t→0+lim−tsin(−t)=t→0+lim−t−sint=t→0+limtsint=1
因此，我们证明了：
x→0limxsinx=1
10.2. 正弦函数求导
为了更好的理解下面的内容，我们需要先求另一个极限：
x→0limx1−cosx
我们可以用 1+cosx 分别和分子与分母相乘，可以得到：
x→0limx1−cosx=x→0limx(1+cosx)(1−cosx)(1+cosx)=x→0limx1−cos2x1+cosx1=x→0limxsinx1+cosxsinx=x→0limxsinxx→0lim1+cosxsinx
前者就是上面我们证明的“第一重要极限”，后者代入 x=0，分子为 0 而分母不为 0，因此后者就是 0，则原极限结果就是 1×0=0
现在我们可以考虑计算正弦函数的导数了。直接带入导数的定义：
sin′x=h→0limhsin(x+h)−sin(x)
分子的前面部分可以利用和角公式进行拆解：
sin′x=h→0limhsin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)−sin(x)
提公因式，得到：
sin′x=h→0limsin(x)hcos(h)−1+cos(x)hsin(h)
前半部分的结果是 0，h→0limhcos(h)−1 这个极限我们刚刚证明过为 0，因此结果也为 0。后半部分明显结果为 cosx。所以，我们可以得到：
sin′x=cosx
10.3. 余弦函数求导
完成了正弦函数求导过程，你可以自行试试余弦函数求导，直接代入导数的定义，或者利用三角恒等式 sin2x+cos2x=1 再求导。
我们依旧使用导数的定义：
cos′x=h→0limhcos(x+h)−cos(x)=h→0limhcos(x)cos(h)−sin(x)sin(h)−cos(x)=h→0limcos(x)hcos(h)−1−sin(x)hsin(h)=−sin(x)
因此，我们能够得到：
sin′x=cosx,cos′x=−sinx
别忘了有一个负号！！！
10.4. 正切函数求导
搞定了 sin′x 和 cos′x 后，其它三角函数求导就很好办了。比如说正切函数求导 tan′x。
我们知道 tanx=cosxsinx，因此，利用商法则可以求出 tan′x
tan′x=cos2xcosxsin′x−sinxcos′x
经过计算和化简，容易得到 tan′x=cos2x1=sec2x。
10.5. 余切函数求导
你可以继续利用 cotx=sinxcosx 对余切函数利用商法则求导。不过，更好的办法是表示成 cotx=tanx1 然后利用商法则。
cot′x=tan2x−sec2x=−cos2xsin2xcos2x1=−csc2x
10.6. 正割函数求导
我们继续利用 secx=cosx1 的定义，套用商法则求导：
sec′x=cos2x−(−sinx)=cosxsinxcosx1=tanxsecx
10.7. 余割函数求导
继续，cscx=sinx1，利用商法则求导：
csc′x=sin2x−cosx=−sinxcosxsinx1=−cotxcscx
综上，你会发现：名字中带有“正”字的三角函数，它们的导数都不带负号；名字中带有“余”字的三角函数，它们的导数都带负号。
11. 反三角函数的导数
11.1 什么是反三角函数
顾名思义，反三角函数就是三角函数的反函数，比如 sinx 的反函数就是 arcsinx 或者 sin−1x，在编程中写作 asin(x)
但是，反三角函数真的只是把三角函数反过来那么简单吗？我们在计算器中输入 y=sinx，你会看到它的图像是“正弦波”，一个 x 只对应一个 y，但是一个 y 可以通过无数个 x 映射得到，如果直接把三角函数倒过来得到反函数，你会发现它不符合函数的定义。
因此，为了定义三角函数的反函数，我们必须规定其定义域和值域（尤其是限制它的值域）。反三角函数的定义域很好得到，三角函数的值域就是反三角函数的定义域。那么反三角函数的值域呢？
11.1.1. 反正弦函数
观察 y=sinx 的图像：
不难发现，Z(sin)=[−1,1]，当 x∈[−2π,2π] 时依然满足 y∈[−1,1]。因此反正弦函数的定义域 D(arcsin)=[−1,1]，值域 Z(arcsin)=[−2π,2π]，如下图所示是函数 y=arcsinx 的图像：
易发现 y=arcsinx 是一个奇函数。
11.1.2. 反余弦函数
观察 y=cosx 的图像：
不难发现，Z(cos)=[−1,1]，当 x∈[0,π] 时依然满足 y∈[−1,1]。因此反余弦函数的定义域 D(arccos)=[−1,1]，值域 Z(arccos)=[0,π]，如下图所示是函数 y=arccosx 的图像：
易发现 y=arccosx既不是奇函数，也不是偶函数！
11.1.3. 反正切函数
观察 y=tanx 的图像：
不难发现，Z(tan)=(−∞,∞)，当 x∈[−2π,2π] 时依然满足 y∈(−∞,∞)。因此反正切函数的定义域 D(arctan)=(−∞,∞)，值域 Z(arctan)=[−2π,2π]，如下图所示是函数 y=arctanx 的图像：
易发现 y=arctanx 是一个奇函数。
11.1.4. 反余切函数
观察 y=cotx 的图像：
不难发现，Z(cot)=(−∞,∞)，当 x∈[−2π,2π] 时依然满足 y∈(−∞,∞)。因此反余切函数的定义域 D(arccot)=(−∞,∞)，值域 Z(arccot)=[−2π,2π]，如下图所示是函数 y=arccotx 的图像：
易发现 y=arccotx 是一个奇函数。
11.1.5. 反正割函数
观察 y=secx 的图像：
不难发现，Z(sec)=(−∞,∞)∖(−1,1)，或者说写作 Z(sec)=(−∞,−1]∪[1,∞)，当 x∈[0,π] 时依然满足 y∈(−∞,−1]∪[1,∞)。因此反正割函数的定义域 D(arcsec)=(−∞,−1]∪[1,∞)，值域 Z(arcsec)=[0,π]，如下图所示是函数 y=arcsecx 的图像：
易发现 y=arccosx既不是奇函数，也不是偶函数！
11.1.6. 反余割函数
观察 y=cscx 的图像：
不难发现，Z(csc)=(−∞,∞)∖(−1,1)，也可以写作 Z(csc)=(−∞,−1]∪[1,∞)，当 x∈[−2π,2π] 时依然满足 y∈(−∞,−1]∪[1,∞)。因此反余割函数的定义域 D(arccsc)=(−∞,−1]∪[1,∞)，值域 Z(arccsc)=[−2π,2π]，如下图所示是函数 y=arccscx 的图像：
易发现 y=arccscx 是一个奇函数。
11.2. 反正弦函数求导
现在我们可以考虑反函数求导了。还是一样，先尝试套用导数定义：
arcsin′x=h→0limharcsin(x+h)−arcsin(x)
可惜了，我们没有关于反正弦函数的和差公式。不妨换一种方式，继续利用我们指数函数求导的时候用到的方法——利用反函数，并通过隐函数求导得到我们的答案。
令 y=arcsinx，则 x=siny，欲求 ΔxΔy，先求 ΔyΔx，再求倒数：
ΔyΔx=cosy
因此，我们知道：
ΔxΔy=cosy1
利用三角恒等式，我们知道：
sin2x+cos2x=1
因此略作变形，得到：
cosx=1−sin2x
注意到反正切函数的图像单调递增，因此我们取它的正平方根是正确的选择。
代入原式，得到：
ΔxΔy=1−sin2y1
代入 y=arcsinx，得到：
ΔxΔy=1−sin2(sin−1(x))1=1−x21
所以，我们有：
arcsin′x=1−x21
11.3. 反余弦函数求导
如果利用导数的定义，我们依然像上面一样会一无所获。因此，继续令 y=arccosx，则 x=cosy。我们可以有：
ΔyΔx=−siny
所以：
ΔxΔy=−siny1
依然根据三角恒等式的变形，得到：
sinx=1−cos2x
观察 y=arccosx 的图像，你会发现它单调递减，而此处我们的导函数已经有了一个负号，因此不需要在 sin 函数结果前面添加一个负号。那么，代入，就有：
ΔxΔy=−1−cos2y1=−1−cos2(cos−1(x))1=−1−x21
所以，我们得到：
arccos′x=−1−x21
令人惊叹！反正弦函数和反余弦函数的导数竟然互为相反数！
11.4. 反正切函数求导
让我们继续。令 y=tan−1x，则 x=tany，因此：
ΔyΔx=sec2y
取倒数：
ΔxΔy=sec2y1
根据三角恒等式 sec2x=tan2x+1，有：
ΔxΔy=tan2y+11=tan2(tan−1(x))+11=x2+11
所以：
tan−1′x=x2+11
11.5. 反余切函数求导
和上面没什么区别，令 y=cot−1x，则 x=coty，因此：
ΔyΔx=−csc2y
取倒数：
ΔxΔy=csc2y1
利用三角恒等式 csc2x=cot2x+1，有：
ΔxΔy=−cot2y+11=−cot2(cot−1(x))+11=−x2+11
所以：
cot−1′x=−x2+11
11.6. 反正割函数求导
令 y=sec−1x，则 x=secy
ΔyΔx=tanysecy
因此：
ΔxΔy=tanysecy1=tanysec(sec−1(x))1=xtany1
往期话题：
详解函数#1 幂函数、指数函数和对数函数
详解函数#2 三角函数
详解函数#3 极限
详解函数#4 导数(1) 导数的定义
详解函数#5 导数(2) 幂函数、指数函数和对数函数求导
参考文献：《普林斯顿微积分》
我是初一牲 看不懂
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