详解函数#3 极限

沈思邈

2025-09-07 17:30:16

发布于：上海

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$\textcolor{yellow}{篇幅较长警告！！！}$

正如标题一样，我们这次的文章有些极限，我们要进行极限挑战，内容是——速通极限。
本文主要会介绍以下内容：

· 什么是极限
· 左极限和右极限

1. 什么是极限

极限标准写法如下：

$\displaystyle\lim_{x\to A} f(x)=L$

就是说，当 $x$ 越来越靠近于 $A$ ， $f(x)$ 的值会越来越靠近于 $L$ 。
比如说，当你 $f(x)=x^2$ ， $x$ 越来越接近 $3$ 的时候， $f(x)$ 的值会越来越靠近多少？毫无疑问是 $9$ 。所以，我们可以写成 $\displaystyle\lim_{x\to3}x^2=9$ 。

当然，并不是代表我可以直接带入 $f(A)$ 得到 $L$ 的值。极限表示的只是一个趋势，有时候当 $f(A)$ 没有意义的时候， $L$ 的值也能够求出来，比如：

$\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x-2}$

当 $x=2$ 的时候，分母为 $0$ ，直接带入明显是不行的。但是，仔细观察会发现你可以进行因式分解：

$\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x-2}=\lim_{x\to2}\dfrac{(x-1)(x-2)}{x-2}=\lim_{x\to2}x-1=1$

我们只是表示一个趋势，因此 $x$ 会趋向于 $2$ ，但是没有取到 $2$ ！因此，我们因式分解后进行约分是合法的。最后，计算出结果为 $1$ 。
当心一点：虽然在极限中， $f(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{x-2}$ 以及 $g(x)=x-1$ 计算的结果是一样的，但是不代表两个函数等价。判断函数是否相等，首先应当判断它的定义域是否相等。因为 $D(f)=R\setminus\{2\}$ ，而 $D(g)=R$ ， $g(x)$ 函数的自变量是可以取到 $2$ 的，而 $f(x)$ 不行，但是在极限中， $f(x)\iff g(x)$ 。