#创作计划# 详解函数#3 极限

沈思邈

2025-09-20 20:14:27

发布于：上海

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$\textcolor{yellow}{篇幅较长警告……好像没那么长}$

正如标题一样，我们这次的文章有些极限，我们要进行极限挑战，内容是——速通极限。
本文主要会介绍以下内容：

· 什么是极限
· 左极限和右极限
· 极限的四则运算
· 三明治定理（夹逼定理）
· 连续性
· 介值定理

1. 什么是极限

极限标准写法如下：

$\displaystyle\lim_{x\to A} f(x)=L$

就是说，当 $x$ 越来越靠近于 $A$ ， $f(x)$ 的值会越来越靠近于 $L$ 。
比如说，当你 $f(x)=x^2$ ， $x$ 越来越接近 $3$ 的时候， $f(x)$ 的值会越来越靠近多少？毫无疑问是 $9$ 。所以，我们可以写成 $\displaystyle\lim_{x\to3}x^2=9$ 。

当然，并不是代表我可以直接带入 $f(A)$ 得到 $L$ 的值。极限表示的只是一个趋势，有时候当 $f(A)$ 没有意义的时候， $L$ 的值也能够求出来，比如：

$\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x-2}$

当 $x=2$ 的时候，分母为 $0$ ，直接带入明显是不行的。但是，仔细观察会发现你可以进行因式分解：

$\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x-2}=\lim_{x\to2}\dfrac{(x-1)(x-2)}{x-2}=\lim_{x\to2}x-1=1$

我们只是表示一个趋势，因此 $x$ 会趋向于 $2$ ，但是没有取到 $2$ ！因此，我们因式分解后进行约分是合法的。最后，计算出结果为 $1$ 。
当心一点：虽然在极限中， $f(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{x-2}$ 以及 $g(x)=x-1$ 计算的结果是一样的，但是不代表两个函数等价。判断函数是否相等，首先应当判断它的定义域是否相等。因为 $D(f)=R\setminus\{2\}$ ，而 $D(g)=R$ ， $g(x)$ 函数的自变量是可以取到 $2$ 的，而 $f(x)$ 不行，但是在极限中， $f(x)\iff g(x)$ 。

顺便一提，所谓极限 $\lim$ ，就是来自于英语中的 $limit$ 一词。

2. 左极限和右极限

极限也有左右？当然有。
顾名思义，左极限=在函数左边的极限，右极限=在函数右边的极限。数学意义上，左极限即 $x<A$ 时的极限，右极限即 $x>A$ 时的极限。

举个例子： $f(x)=\dfrac{1}{x}$ ，求 $x\to0$ 时的左极限和右极限。

左极限写作 $\displaystyle\lim_{x\to A^-}f(x)$ 。我们可以举例子来看看什么是左极限：

当 $x=-1$ 时， $f(x)=-1$

当 $x=-\dfrac{1}{2}$ 时， $f(x)=-2$

当 $x=-\dfrac{1}{3}$ 时， $f(x)=-3$

当 $x=-\dfrac{1}{5}$ 时， $f(x)=-5$
……
可以发现，当 $x$ 越来越靠近 $0$ 但还是满足 $x<0$ 的时候，我们的 $\dfrac{1}{x}$ 会越来越靠近于 $-\infty$ 。因此，我们可以写作：

$\displaystyle\lim_{x\to0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty$

所以，它在 $0$ 的右边带了个负号，代表它是负的，换言之就是小于 $0$ 时的极限。同理适用于右极限。

右极限写作 $\displaystyle\lim_{x\to A^+}f(x)$ 。我们依旧举例子来看看什么是右极限：

当 $x=1$ 时， $f(x)=1$

当 $x=\dfrac{1}{2}$ 时， $f(x)=2$

当 $x=\dfrac{1}{3}$ 时， $f(x)=3$

当 $x=\dfrac{1}{5}$ 时， $f(x)=5$
……
可以发现，当 $x$ 越来越靠近 $0$ 但还是满足 $x>0$ 的时候，我们的 $\dfrac{1}{x}$ 会越来越靠近于 $\infty$ 。因此，我们可以写作：

$\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{1}{x}=\infty$

那么，左极限和右极限有什么用呢？我们可以看一看极限 $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1}{x}$ 的值。

当 $x\to0^-$ 时，极限结果为 $-\infty$ ；当 $x\to0^+$ 时，极限结果为 $\infty$ 。很明显，左极限和右极限是不同的。我们假设极限 $\displaystyle\lim_{x->A}f(x)$ 存在（设为 $L$ ），那么，当 $x\to A^-$ 时， $f(x)\to L$ ，同理，当 $x\to A^+$ 时， $f(x)\to L$ ，即左极限和右极限相等。然而，这里，左极限和右极限完全不同，因此，这里极限不存在，记作：

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1}{x}DNE$

3. 极限的四则运算

你不用为 极限的四则运算 这个话题感到太担忧。相信你的直觉，如下！
$\displaystyle\lim_{x\to A}f(x)=M,\lim_{x\to B}g(x)=N$ ，那么：
对于极限的加法运算，有 $\displaystyle\lim_{x\to A}f(x)+g(x)=M+N$ 。
对于极限的减法运算，有 $\displaystyle\lim_{x\to A}f(x)-g(x)=M-N$ 。
对于极限的乘法运算，有 $\displaystyle\lim_{x\to A}f(x)\cdot g(x)=MN$ 。
对于极限的除法运算，有 $\displaystyle\lim_{x\to A}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{M}{N}$ 。

4. 三明治定理（夹逼定理）

你可以随意在超市中看到三明治，可以随意在汉堡店中看到汉堡（~~这不废话吗~~ 但是这很形象）。这两种物品都是由上下两层面包，中间一些“夹心”构成的。如果你知道，这个在“三明治”中的东西上面有一层面包，下面也有一层面包，那你可以迅速判断出这是其中的“夹心”，即使你很用力地把两片面包夹在一起，中间几乎没有空隙，但是中间“夹心”也在，而且也夹在了这个位置。这是理所当然的。

我们在生活中的判断技巧也可以利用在数学中。如果对于任意的 $x$ 都有 $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ ，且当 $\displaystyle\lim_{x\to A}g(x)=\lim_{x\to A}h(x)=L$ ，则：

$\displaystyle\lim_{x\to A}f(x)=L$

这个定理看上去朴素，实际上确实没那么豪华，但是证明第一重要极限的时候需要它。

5. 连续性

5.1. 在一点上连续

我们考虑两个函数：

$f(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{x-2}$ 以及 $g(x)=x-1$

它们唯一的区别就在于定义域中包不包含 $x=2$ ，毋庸置疑。但是令人惊奇的是它们在 $x=2$ 时的极限是一模一样的。
不难发现， $\displaystyle\lim_{x\to2}f(x)=\lim_{x\to2}g(x)=1$ ，这个已经在上文讨论过了。
但是我们直接带入 $x=2$ 呢？不难发现 $\displaystyle\lim_{x\to2}f(x)\neq f(2)$ ，但是 $\displaystyle\lim_{x\to2}g(x)=g(2)$ 。

更一般化的，有一类函数（假设下面的 $h(x)$ 是其中之一），横坐标为一个特定常数 $A$ 时，它的图像满足 $\displaystyle\lim_{x\to A}h(x)=h(A)$ 。这类函数的特点，就是在绘制其图像到 $x=A$ 时，我们不用把笔从纸面上抬起再挪到 $h(A)$ 处或者跳过 $x=A$ 时的点，我们称之为 在 $x=A$ 处连续。

5.2. 在一段区间上连续

让我们延续上面的定义。

很明显，这里和上面的区别就在于在区间上连续而非一点。
但我们不妨把区间看成一个个点——对于 $\forall k\in[a,b]$ ，若 $\displaystyle\lim_{x\to k}h(x)=h(k)$ ，则称函数 $h(x)$ 在 $[a,b]$ 区间内连续。
换言之，你在绘制函数 $h(x)$ 的 $[a,b]$ 段时用不着抬笔。

6. 介值定理

最后，让我们以介值定理收尾。
我们已经了解了什么叫做连续，（~~说白了就是绘制图像时不用抬笔~~）那么在函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 段内连续的前提下，如果 $f(a)$ 到 $f(b)$ 的区间中，值域在 $[A,B]$ 区间内，对于 $\forall K\in[A,B]$ ，必然 $\exist k$ 满足 $f(k)=K$ 。
证明：因为连续，所以满足，简单的想想都能够知道。