详解函数#2 三角函数

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沈思邈

时空双修者题解仙人快乐小狗荣耀黄金CSP-J一等奖GESP8级

2025-09-02 21:33:26

发布于：上海

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篇幅较长警告！！！\red{篇幅较长警告！！！}

（本帖子篇幅较长，请耐心读完）

这是详解函数系列的第二条帖子。如果没看过第一条可以去这里看看。废话不多说，接下来让我们来聊聊一个听上去令人胆战心惊的东西—— 三角函数，继续上篇没写完的内容。

本文主要会向大家介绍：
· 锐角三角比
· 三角恒等式
· 三角函数的定义域扩展
· 三角函数相关的公式
· 正余弦定理及其应用

什么是三角函数

三角函数最初与我们见面是在六年级，我绝对不会告诉你是在《Mathematics Olympics 2021》收录的六年级竞赛中与我们见面的，当然你不知道这个也没关系，接下来我会向你介绍。

1. 锐角三角比

为什么说最初见面是在六年级？因为三角函数实际上就是直角三角形中线段的比值（六年级知识点：比和比例）。比如，告诉你 Rt△ABCRt_{\triangle ABC} 中，∠C=90°,AC=4,BC=3,AB=5\angle C=90\degree,AC=4,BC=3,AB=5，求BCAB的值\cfrac{BC}{AB}的值。看着很简单：这不就是 35\dfrac{3}{5} 嘛，又有什么？这就是锐角三角比 sin⁡A\sin A，或者叫它三角函数。
（我的某位不愿透露姓名的兄弟）哇塞！我居然看懂了！

三角函数的最初形态就是锐角三角比，建立在直角三角形中。如下图所示，我们一般设 Rt△ABC,∠C=90°Rt_{\triangle ABC},\angle C=90\degree，三个顶点 A、B、CA、B、C 所对的边分别长为 a、b、ca、b、c。

首先明确一点：三角函数，是 关于角的函数！它把角度作为自变量（也可以是后面介绍的弧度），等角算出来的结果相等。因此，它们具备周期性。
我们以顶点 AA 为例，计算一下它的各种锐角三角比。首先，我们定义对边比斜边的正弦函数 sinesine：

sin⁡A=ac\sin A=\dfrac{a}{c}

以及它的好兄弟邻边比斜边的余弦函数 cosinecosine：

cos⁡A=bc\cos A=\dfrac{b}{c}

这二位真神的简称如上所示，他俩也是所有三角函数的基础。

接下来，我们定义一个稍微复杂点的函数——对边比邻边的正切 tangenttangent：

tan⁡A=sin⁡Acos⁡A=ab\tan A=\dfrac{\sin A}{\cos A}=\dfrac{a}{b}

正切函数的简写是 tan⁡\tan，当然你也可以写作 tg⁡\tg。
然后我们看看邻边比对边的余切 cotangentcotangent：

cot⁡A=1tan⁡A=ba\cot A=\dfrac{1}{\tan A}=\dfrac{b}{a}

余切函数简写为 cot⁡\cot，你也可以写作 ctg⁡\ctg。

到这里就是我们初中所学到的所有锐角三角比了，但并不代表三角函数就这四个。还有两个被人遗忘的函数：正割和余割。
正割 secantsecant 的定义是斜边比邻边，如下：

sec⁡A=1cos⁡A=cb\sec A=\dfrac{1}{\cos A}=\dfrac{c}{b}

我也不知道为什么正割一定要把 bb 作为分母而不是 aa，但是它确实是这样定义的，可能是为了寻求一种特别的美吧。
最后看看余割 cosecantcosecant 的定义，斜边比对边：

csc⁡A=1sin⁡A=ca\csc A=\dfrac{1}{\sin A}=\dfrac{c}{a}

注意一点：余割的简写并非取前三个字母得到 cos⁡\cos，因为 cos⁡\cos 是余弦函数！因此余割的简写较为特殊，改为了 csc⁡\csc。

为什么我们说正余弦是最基本的？根据这些定义，tan⁡\tan 是由 sin⁡\sin 和 cos⁡\cos 作比值得到的，而 cot⁡\cot、sec⁡\sec、csc⁡\csc 分别是 tan⁡\tan、cos⁡\cos、sin⁡\sin 的倒数。不难发现，其余四个三角函数都和正余弦有关。因此，给你一个角度的正余弦，你就可以算出它的正余切和正余割。

当然，你也可以通过上面的定义进行一些等式的恒等变形，比如：

sin⁡A=cos⁡A×tan⁡Acos⁡A=sin⁡Atan⁡A\sin A=\cos A\times\tan A\\\cos A=\cfrac{\sin A}{\tan A}

根据 tan⁡A\tan A 的定义可以轻松证明上面等式。
再比如：

tan⁡Asec⁡A=sin⁡Acos⁡A1cos⁡A=sin⁡A\cfrac{\tan A}{\sec A}=\cfrac{\cfrac{\sin A}{\cos A}}{\cfrac{1}{\cos A}}=\sin A

同理，你可以得到下面的式子。读者自证不难：

sec⁡Atan⁡A=csc⁡A\cfrac{\sec A}{\tan A}=\csc A

下面是常见角度的锐角三角比比值，无穷大符号表示不存在：

0°0\degree 30°30\degree 45°45\degree 60°60\degree 90°90\degree
sin⁡\sin 00 12\dfrac{1}{2} 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 11
cos⁡\cos 11 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} 12\dfrac{1}{2} 00
tan⁡\tan 00 33\dfrac{\sqrt{3}}{3} 11 3\sqrt{3} ∞\infty
cot⁡\cot ∞\infty 3\sqrt{3} 11 33\dfrac{\sqrt{3}}{3} 00
sec⁡\sec 11 233\dfrac{2}{3}\sqrt{3} 2\sqrt{2} 22 ∞\infty
csc⁡\csc ∞\infty 22 2\sqrt{2} 233\dfrac{2}{3}\sqrt{3} 11

除了这些，我们也可以通过作出含 30°30\degree 或者 45°45\degree 的直角三角形，并以斜边为腰作出等腰三角形，拼出含有 15°15\degree 或 22.5°22.5\degree 的直角三角形。它们的三角比如下所示：

15°15\degree 22.5°22.5\degree 67.5°67.5\degree 75°75\degree
sin⁡\sin 6−24\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} 2−22\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} 2+22\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} 6+24\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
cos⁡\cos 6+24\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} 2+22\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} 2−22\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} 6−24\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
tan⁡\tan 2−32-\sqrt{3} 2−1\sqrt{2}-1 2+1\sqrt{2}+1 2+32+\sqrt{3}
cot⁡\cot 2+32+\sqrt{3} 2+1\sqrt{2}+1 2−1\sqrt{2}-1 2−32-\sqrt{3}
sec⁡\sec 6−2\sqrt{6}-\sqrt{2} 4−22\sqrt{4-2\sqrt{2}} 4+22\sqrt{4+2\sqrt{2}} 6+2\sqrt{6}+\sqrt{2}
csc⁡\csc 6+2\sqrt{6}+\sqrt{2} 4+22\sqrt{4+2\sqrt{2}} 4−22\sqrt{4-2\sqrt{2}} 6−2\sqrt{6}-\sqrt{2}

接着，让我们看看三角函数之间的关联。

2. 三角恒等式

相信大家都听说过 勾股定理。勾股定理的证明可能需要 弦图，常见的弦图有赵爽弦图：

它是从小正方形向外作四个全等的直角三角形得到大正方形，因此得到：

4(12ab)+(a−b)2=c24(\frac{1}{2}ab)+(a-b)^2=c^2

化简得到勾股定理：

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2

当然，还有一种是邹元治弦图：

它是从大正方形向内作四个全等的直角三角形得到小正方形，因此有：

(a+b)2=c2+4(12ab)(a+b)^2=c^2+4(\frac{1}{2}ab)

化简得到勾股定理：

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2

有了这些之后，我们就可以正式去看看三角恒等式了。还是那个 Rt△ABC,∠C=90°Rt\triangle_{ABC},\angle C=90\degree，如下图：

我们已经知道了，在这个直角三角形中，有下面这些关系：

{a2+b2=c2sin⁡A=accos⁡A=bc\begin{cases}a^2+b^2=c^2\\\\\sin A=\dfrac{a}{c}\\\\\cos A=\dfrac{b}{c}\end{cases}

最上面的是刚刚证明过的勾股定理，看上去十分简洁。它包含的项是三边的平方，而下面两个式子正好含有了三边长度，且分母均为 cc，因此我们也可以用下面两个式子刻意地去构造平方项：

{sin⁡2A=a2c2cos⁡2A=b2c2\begin{cases}\sin^2A=\dfrac{a^2}{c^2}\\\\\cos^2A=\dfrac{b^2}{c^2}\end{cases}

我们发现，这两个式子分母都是斜边的平方，而上面分别是两条直角边的平方，长得很像勾股定理了。现在，将两个式子相加，再代入勾股定理，就得到：

sin⁡2A+cos⁡2A=a2+b2c2=c2c2=1\sin^2A+\cos^2A=\dfrac{a^2+b^2}{c^2}=\dfrac{c^2}{c^2}=1

这个式子和勾股定理长得很像，对吧。实际上，我们带入 c=1c=1 的特殊情况，根据两者的定义，就有 a=sin⁡A,b=cos⁡Aa=\sin A,b=\cos A，于是得到了这个三角恒等式。

除此之外，我们利用 tan⁡A\tan A 以及 sec⁡A\sec A，也可以得到一个恒等式：

tan⁡2A+1=sec⁡2A\tan^2A+1=\sec^2A

原因很简单，带入 tan⁡A=ab\tan A=\dfrac{a}{b}，则左边就是 tan⁡2A+1=a2b2+1=a2+b2b2=c2b2=sec⁡2A\tan^2A+1=\dfrac{a^2}{b^2}+1=\dfrac{a^2+b^2}{b^2}=\dfrac{c^2}{b^2}=\sec^2A
同理适用于 cot⁡A\cot A 和 csc⁡A\csc A：

cot⁡2A+1=csc⁡2A\cot^2A+1=\csc^2A

这个证明和上面很像，读者自证不难。

3. 三角函数的定义域扩展

回顾一下，我们刚才所说的关于三角函数的内容，你会发现它的适用范围很局限：都只存在于欧几里得平面中的直角三角形中（加上这几个字是为了确保三角形内角和是 180°180\degree），然而有人会问：为什么我们在计算器中看到的正弦函数图像是一条波浪线啊？而且好像也没有标角度符号啊？别急，接下来我会带你探究一下背后的原因。

3.1. 角度与弧度

我们先来解决一个问题：我们平时所说的测度（如长度、面积、体积）在题目中好像都可以不带单位。比如长度为3个单位，随便是什么单位；面积是9个平方单位，随便试什么单位；体积是27个立方单位，随便是什么单位。然而从来没有看到过题目中说 ∠A=3\angle A=3，不带单位 °\degree（度）有什么办法能够将它的度数符号去掉呢？

我们可以从单位圆中找到灵感：

众所周知，人们探秘了圆的周长和直径之间的比值探秘了好久，但我们都知道它是一个无理数，叫做 π\pi。因此，我们可以用 π\pi 来计算圆的周长：

C=πd=2πrC=\pi d=2\pi r

那么，如果我们要求圆心角为 θ°\theta\degree 所对的弧长呢？θ°\theta\degree 占 360°360\degree 的 θ360\dfrac{\theta}{360} 份（我们同时去掉一个度数符号不会发生改变），同理，它所对的弧长 LL 也占圆周长 CC 的 θ360\dfrac{\theta}{360} 份，因此，我们有：

L=θ360⋅C=πrθ180L=\dfrac{\theta}{360}\cdot C=\dfrac{\pi r\theta}{180}

上图是一个单位圆，也就是半径为 11 的圆，因此，L=πθ180L=\dfrac{\pi\theta}{180}。这个时候，我们成功地把度数符号去掉了。由于单位圆半径为 11，得到了角度 θ\theta 就相当于得到了圆心角所对的弧长 LL，因此二者等价，我们可以用 LL 来表示 θ\theta，这就是所谓的弧度制。

我们有了弧度制，就可以去掉角度符号，换成几倍的 π\pi。比如，(degree)180°=(radian)π(degree)180\degree=(radian)\pi。
你也可以练习一下，把常见角度转换成弧度，知道可以脱口而出下面几个结论：

0°=0,30°=16π,45°=14π,60°=13π,90°=12π0\degree=0,30\degree=\dfrac{1}{6}\pi,45\degree=\dfrac{1}{4}\pi,60\degree=\dfrac{1}{3}\pi,90\degree=\dfrac{1}{2}\pi

120°=23π,135°=34π,150°=56π,180°=π,270°=32π,360°=2π120\degree=\dfrac{2}{3}\pi,135\degree=\dfrac{3}{4}\pi,150\degree=\dfrac{5}{6}\pi,180\degree=\pi,270\degree=\dfrac{3}{2}\pi,360\degree=2\pi

如果有需要，你也可以算算，验证一下下面几个结论：

15°=112π,22.5°=18π,67.5°=38π,75°=512π15\degree=\dfrac{1}{12}\pi,22.5\degree=\dfrac{1}{8}\pi,67.5\degree=\dfrac{3}{8}\pi,75\degree=\dfrac{5}{12}\pi

3.2. 扩展定义域

相信你已经了解了锐角三角比的定义了，也已经知道了勾股定理。锐角三角比那些根据 sin⁡A\sin A 和 cos⁡A\cos A 的那些定义在任意角的三角比中也完全使用。

我们在小学学过，对于一个角而言，有两种定义，一种是静态定义：

角是由有公共端点的两条射线组成的图形，这个公共端点称为角的顶点，两条射线分别称为角的边；这种定义强调图形的静止状态，不涉及任何运动变化

还有一种动态定义如下：

角是一条射线绕其端点旋转而形成的图形，旋转前的射线称为始边，旋转后的射线称为终边；旋转的幅度决定了角的度量

当然，我们今天为了研究任意角的三角比（或者说弧度为任意实数的角的三角比），可以参考第二种动态定义，它包含了 [0°,360°][0\degree,360\degree] 的任意角的定义（对于 361°361\degree，可以看成是转了一圈又多转了 1°1\degree）。

一个好且有效的办法是借助平面直角坐标系，去理解三角函数。如下图所示，

（使用Python进行的绘图，技术原因，省略了坐标轴）
以第二象限角为例，我们按照动态定义，在半径为 rr 的圆中做出一个角 θ∈(12π,π)\theta\in(\dfrac{1}{2}\pi,\pi)，如图所示，绿色线段为始边，红色线段为终边。我们令红色线段与 xx 轴的 夹角 为 ϕ\phi，过终边与圆的交点 PP 往 xx 轴作垂线段，截距 为 yy，xx 轴上的 截距 为 xx（详细见上图）。

由于 rr 是半径，因此 rr 恒为正数；然而，xx 和 yy 二者 受到象限的影响，从而导致有时为正，有时为负，当在一二象限时 yy 为正，当在一四象限时 xx 为正。这也导致在不同象限中，sin⁡\sin 和 cos⁡\cos 函数结果的正负性会有所不同。如图所示的是第二象限的情况，此时，xx 是在 xx 轴的负方向上，故为负，而 yy 在 xx 轴的上方，故为正。

为什么要构造直角三角形？这是不是很熟悉？刚刚锐角三角比就是在欧式平面内的直角三角形中定义的，而这里正好也有一个欧式平面内的直角三角形，因此，套用刚才的定义：

sin⁡θ=yrcos⁡θ=xr\sin\theta=\cfrac{y}{r}\\\cos\theta=\cfrac{x}{r}

因此，我们也有：

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=yx\tan\theta=\cfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\cfrac{y}{x}

这三条结论对于任意角都适用。
根据终边所在的象限不同，三者的正负性也有所不同。简单来说可以用一句话概括：ASTCASTC 原则。

第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
对应字母 AA SS TT CC
字母含义解释 allall，即全部为正 sin⁡\sin，只有正弦为正 tan⁡\tan，只有正切为正 cos⁡\cos，只有余弦为正

我们能够很轻松地理解第一象限角的三角比恒为正一点，但是其它三点可能有一点难以理解。那么，现在我们来看三个例子，探究一下所谓的 ASTCASTC 原则。

首先，让我们计算 θ=34π\theta=\dfrac{3}{4}\pi 的 sin⁡,cos⁡,tan⁡\sin,\cos,\tan 的值
还是上面这张图，可知：

ϕ=π−θ=14π\phi=\pi-\theta=\dfrac{1}{4}\pi

因此，就转换成了对应 ϕ\phi 的三角比。如图，过点 PP 作 PH⊥OHPH\perp OH 于点 HH，于是我们有了等腰 Rt△PHORt\triangle_{PHO}，其中 ∠PHO=12π\angle_{PHO}=\dfrac{1}{2}\pi。注意到这里我们的 xx 值为负，因此我们有了：

r=−2x=2y,  x=−yr=-\sqrt{2}x=\sqrt{2}y,\,\,x=-y

于是乎，我们可以带入求出我们的三个目标值：

sin⁡θ=yr=y2y=22>0 cos⁡θ=xr=x−2x=−22<0 tan⁡θ=xy=x−x=−1<0\sin\theta=\cfrac{y}{r}=\cfrac{y}{\sqrt{2}y}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}>0\\\,\\ \cos\theta=\cfrac{x}{r}=\cfrac{x}{-\sqrt{2}x}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}<0\\\,\\ \tan\theta=\cfrac{x}{y}=\cfrac{x}{-x}=-1<0

所以第二象限角满足 ASTCASTC 原则的 SS。而且不难发现，在第二象限中，有下面的规律：

sin⁡θ=sin⁡ϕ=sin⁡(π−θ) cos⁡θ=−cos⁡ϕ=−cos⁡(π−θ) tan⁡θ=−tan⁡ϕ=−tan⁡(π−θ)\sin\theta=\sin\phi=\sin(\pi-\theta)\\\,\\ \cos\theta=-\cos\phi=-\cos(\pi-\theta)\\\,\\ \tan\theta=-\tan\phi=-\tan(\pi-\theta)

这些实际上就是所谓的诱导公式的一部分，后面会提及。

接下来，算一下当 θ=43π\theta=\dfrac{4}{3}\pi 时的 sin⁡,cos⁡,tan⁡\sin,\cos,\tan 值。你可以自己根据上面的文字自行绘图计算，再看看下面的解释。

（依旧是Python绘图）
我们刚刚提到过，ϕ\phi 是终边与 xx 轴的 夹角，因此它始终是个锐角！当我们的 θ\theta 是第三象限角时（如上图）它会和一部分的 θ\theta 重合，如上。因此，当 θ=43π\theta=\dfrac{4}{3}\pi 时，有：

ϕ=θ−π=13π\phi=\theta-\pi=\dfrac{1}{3}\pi

因此，根据 13π\dfrac{1}{3}\pi 的锐角三角比，以及正负性，我们知道：

r=−2x=−233y,y=3xr=-2x=-\dfrac{2}{3}\sqrt{3}y,y=\sqrt{3}x

所以，带入得到：

sin⁡θ=yr=y−233y=−32<0 cos⁡θ=xr=x−2x=−12<0 tan⁡θ=yx=3xx=3>0\sin\theta=\cfrac{y}{r}=\cfrac{y}{-\dfrac{2}{3}\sqrt{3}y}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}<0\\\,\\ \cos\theta=\cfrac{x}{r}=\cfrac{x}{-2x}=-\dfrac{1}{2}<0\\\,\\ \tan\theta=\cfrac{y}{x}=\cfrac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3}>0

因此第三象限角符合 ASTCASTC 中的 TT。
同样的，不难发现：

sin⁡θ=−sin⁡ϕ=−sin⁡(θ−π) cos⁡θ=−cos⁡ϕ=−cos⁡(θ−π) tan⁡θ=tanϕ=tan⁡(θ−π)\sin\theta=-\sin\phi=-\sin(\theta-\pi)\\\,\\ \cos\theta=-\cos\phi=-\cos(\theta-\pi)\\\,\\ \tan\theta=tan\phi=\tan(\theta-\pi)

最后，看看 θ=116π\theta=\dfrac{11}{6}\pi 的情形，依然算出 sin⁡,cos⁡,tan⁡\sin,\cos,\tan 的值。你依旧应该自己先尝试计算，再往下看。

（仍旧Python绘图）
这次我们得到的关系是 θ+ϕ=2π\theta+\phi=2\pi，因此：

ϕ=2π−θ=16π\phi=2\pi-\theta=\dfrac{1}{6}\pi

于是，我们能得到：

r=−2y=233x,x=−3yr=-2y=\dfrac{2}{3}\sqrt{3}x,x=-\sqrt{3}y

带入，有：

sin⁡θ=yr=y−2y=−12<0 cos⁡θ=xr=x233x=32>0 tan⁡θ=yx=y−3y=−33<0\sin\theta=\cfrac{y}{r}=\cfrac{y}{-2y}=-\dfrac{1}{2}<0\\\,\\ \cos\theta=\cfrac{x}{r}=\cfrac{x}{\dfrac{2}{3}\sqrt{3}x}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}>0\\\,\\ \tan\theta=\cfrac{y}{x}=\cfrac{y}{-\sqrt{3}y}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}<0

第四象限角明显符合 ASTCASTC 原则的 CC 这一点。
同时，易发现如下特点：

sin⁡θ=−sin⁡ϕ=−sin⁡(2π−θ) cos⁡θ=cos⁡ϕ=cos⁡(2π−θ) tan⁡θ=−tan⁡ϕ=−tan⁡(2π−θ)\sin\theta=-\sin\phi=-\sin(2\pi-\theta)\\\,\\ \cos\theta=\cos\phi=\cos(2\pi-\theta)\\\,\\ \tan\theta=-\tan\phi=-\tan(2\pi-\theta)

我们知道，对于 361°361\degree，可以写成 360°+1°360\degree+1\degree，因此，实际上 361°=1°361\degree=1\degree；那么 −1°-1\degree 呢？我们可以加上 360°360\degree，得到 359°359\degree。概括地说，任意一个角度都可以表示成 n⋅360°+a°(n∈Z,a∈[0°,360°))n\cdot360\degree+a\degree(n\in Z,a\in[0\degree,360\degree))。换成弧度制，就是：RAD=n⋅π+rad(n∈Z,rad∈[0,2π))RAD=n\cdot\pi+rad(n\in Z,rad\in[0,2\pi))。
那么，根据这一点，我们就可以将任意角转换成在区间 [0,2π)[0,2\pi) 中的角，因此可以就此求出任意角的三角比。

恭喜你，学会了任意角的三角比。接下来让我们看看六大函数的图像。

  1. y=sin⁡xy=\sin{x}

  1. y=cos⁡xy=\cos{x}

  1. y=tan⁡xy=\tan{x} 或 y=tg⁡xy=\tg{x}

  1. y=cot⁡xy=\cot{x} 或 y=ctg⁡xy=\ctg{x}

  1. y=sec⁡xy=\sec{x}

  1. y=csc⁡xy=\csc{x}

由于六大函数(六大善人)都是以角为自变量的函数，因此它们都是有周期性的。其中，sin⁡,cos⁡,sec⁡,csc⁡\sin,\cos,\sec,\csc 都以 2π2\pi 为周期，而 tg⁡,ctg⁡\tg,\ctg 都以 π\pi 为周期。甚至，sin⁡,tg⁡,ctg⁡,csc⁡\sin,\tg,\ctg,\csc 都是奇函数，而 cos⁡,sec⁡\cos,\sec 是偶函数。

4. 诱导公式

我们在上面已经看到了 π−θ,θ−π,2π−θ\pi-\theta,\theta-\pi,2\pi-\theta 它们的正弦、余弦、正切与 θ\theta 的正弦、余弦、正切有什么关系。这都是诱导公式中的一部分。现在，我们来看看到底什么是诱导公式。

4.1. θ\theta 和 θ+2πn(n∈Z)\theta+2\pi n(n\in Z)

我们知道，给一个角度加上或减去 360°360\degree 的整数倍，它的大小不变。同样适用于弧度，弧度 θ\theta 加上或者减去整数倍的 2π2\pi，其大小不变。因为三角函数研究对象是角，显然这两者的三角比的值相等。因此，我们有：

sin⁡θ+2πn=sin⁡θ cos⁡θ+2πn=cos⁡θ tan⁡θ+2πn=tan⁡θ cot⁡θ+2πn=cot⁡θ sec⁡θ+2πn=sec⁡θ csc⁡θ+2πn=csc⁡θ\sin{\theta+2\pi n}=\sin\theta\\\,\\ \cos{\theta+2\pi n}=\cos\theta\\\,\\ \tan{\theta+2\pi n}=\tan\theta\\\,\\ \cot{\theta+2\pi n}=\cot\theta\\\,\\ \sec{\theta+2\pi n}=\sec\theta\\\,\\ \csc{\theta+2\pi n}=\csc\theta

4.2. θ\theta 和 θ±π\theta±\pi

事实上，不管是 θ+π\theta+\pi 还是 θ−π\theta-\pi，都表示同一个值。我们在上面探究过了，它们满足下面的关系：

sin⁡θ±π=−sin⁡θ cos⁡θ±π=−cosθ tan⁡θ±π=tan⁡θ cot⁡θ±π=cot⁡θ sec⁡θ±π=−sec⁡θ csc⁡θ±π=−csc⁡θ\sin{\theta±\pi}=-\sin\theta\\\,\\ \cos{\theta±\pi}=-cos\theta\\\,\\ \tan{\theta±\pi}=\tan\theta\\\,\\ \cot{\theta±\pi}=\cot\theta\\\,\\ \sec{\theta±\pi}=-\sec\theta\\\,\\ \csc{\theta±\pi}=-\csc\theta

4.3. θ\theta 和 2π−θ2\pi-\theta

这也在上面探究过，有以下结论：

sin⁡2π−θ=−sin⁡θ cos⁡2π−θ=cos⁡θ tan⁡2π−θ=−tan⁡θ cot⁡2π−θ=−cot⁡θ sec⁡2π−θ=sec⁡θ csc⁡2π−θ=−csc⁡θ \sin{2\pi-\theta}=-\sin\theta\\\,\\ \cos{2\pi-\theta}=\cos\theta\\\,\\ \tan{2\pi-\theta}=-\tan\theta\\\,\\ \cot{2\pi-\theta}=-\cot\theta\\\,\\ \sec{2\pi-\theta}=\sec\theta\\\,\\ \csc{2\pi-\theta}=-\csc\theta\\\,\\

4.4. θ\theta 和 π−θ\pi-\theta

这也在上面探究过，结论如下：

sin⁡π−θ=sin⁡θ cos⁡π−θ=−cos⁡θ tan⁡π−θ=−tan⁡θ cot⁡π−θ=−cot⁡θ sec⁡π−θ=−sec⁡θ csc⁡π−θ=csc⁡θ\sin{\pi-\theta}=\sin\theta\\\,\\ \cos{\pi-\theta}=-\cos\theta\\\,\\ \tan{\pi-\theta}=-\tan\theta\\\,\\ \cot{\pi-\theta}=-\cot\theta\\\,\\ \sec{\pi-\theta}=-\sec\theta\\\,\\ \csc{\pi-\theta}=\csc\theta

4.5. θ\theta 和 12π−θ\dfrac{1}{2}\pi-\theta

事情开始变得有趣了。现在没有 π\pi 或者 2π2\pi，只有 12π\dfrac{1}{2}\pi，即 90°90\degree。想一想，什么时候会出现两个角的弧度分别为 θ\theta 和 12π−θ\dfrac{1}{2}\pi-\theta 呢？两角互余！直角三角形！

利用我们最开始的定义，我们知道，sin⁡A=ac\sin A=\cfrac{a}{c}，它的余角的正弦值为 sin⁡B=bc\sin B=\cfrac{b}{c} 。等一等，这怎么那么眼熟？没错，这正是 cos⁡A\cos A 的值。因此，我们知道了 sin⁡12π−θ=cos⁡θ\sin{\dfrac{1}{2}\pi-\theta}=\cos\theta。同样的道理，我们知道：

sin⁡12π−θ=cos⁡θ cos⁡12π−θ=sin⁡θ tan⁡12π−θ=cot⁡θ cot⁡12π−θ=tan⁡θ sec⁡12π−θ=csc⁡θ csc⁡12π−θ=sec⁡θ\sin{\dfrac{1}{2}\pi-\theta}=\cos\theta\\\,\\ \cos{\dfrac{1}{2}\pi-\theta}=\sin\theta\\\,\\ \tan{\dfrac{1}{2}\pi-\theta}=\cot\theta\\\,\\ \cot{\dfrac{1}{2}\pi-\theta}=\tan\theta\\\,\\ \sec{\dfrac{1}{2}\pi-\theta}=\csc\theta\\\,\\ \csc{\dfrac{1}{2}\pi-\theta}=\sec\theta

4.6. θ\theta 和 θ+12π\theta+\dfrac{1}{2}\pi

更有趣的还在后面。这次不再是两角互余，而是两角之差为 12π\dfrac{1}{2}\pi，该如何计算？
由于各位大佬学过编程，我们可以进行骗分的操作，直接赌它的关系是唯一的，且带入特殊值进行计算，如 θ=16π\theta=\dfrac{1}{6}\pi，最后解得两角三角比的关系。但是能否数学意义上的证明它呢？

我们肯定会想到构造大小为 θ\theta 的角和一个直角，使得代数式之间的关系可视化。想想我们能够如何进行转换？上面我们利用了一个直角三角形，那么，这次不妨再用一个与之全等的直角三角形来探究这道题。

这是我们人人熟知的三垂直全等模型。我们不妨令 θ=∠AOP,  AP=y,  PO=x,  AO=OB=r\theta=\angle_{AOP},\,\,AP=y,\,\,PO=x,\,\,AO=OB=r，因此我们可以根据全等得到 OQ=−y,  QB=xOQ=-y,\,\,QB=x 且 ∠BOP=θ+12π\angle_{BOP}=\theta+\dfrac{1}{2}\pi。
于是乎，我们便有 sin⁡θ=yr\sin\theta=\cfrac{y}{r}一个式子。如何考虑 θ+12π\theta+\dfrac{1}{2}\pi 的正弦值呢？利用上面已经得到的诱导公式的值，我们可以知道：

sin⁡θ+12π=sin⁡π−θ−12π=sin⁡12π−θ=cos⁡θ\sin{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}=\sin{\pi-\theta-\dfrac{1}{2}\pi}=\sin{\dfrac{1}{2}\pi-\theta}=\cos\theta

有了这个模型的辅助，接下来的结论就都可以得到，读者自证不难：

sin⁡θ+12π=cos⁡θ cos⁡θ+12π=−sin⁡θ tan⁡θ+12π=−cot⁡θ cot⁡θ+12π=−tan⁡θ sec⁡θ+12π=−csc⁡θ csc⁡θ+12π=sec⁡θ\sin{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}=\cos\theta\\\,\\ \cos{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}=-\sin\theta\\\,\\ \tan{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}=-\cot\theta\\\,\\ \cot{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}=-\tan\theta\\\,\\ \sec{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}=-\csc\theta\\\,\\ \csc{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}=\sec\theta

4.7. θ\theta 和 θ−12π\theta-\dfrac{1}{2}\pi

θ\theta 和 θ−12π\theta-\dfrac{1}{2}\pi，看着有点眼熟啊。如果我们令 ϕ=θ−12π\phi=\theta-\dfrac{1}{2}\pi，那不就是 ϕ\phi 和 ϕ+12π\phi+\dfrac{1}{2}\pi 的关系吗？
举个例子：我们算过，sin⁡θ+12π=cos⁡θ\sin{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}=\cos\theta，那么把此处的 θ\theta 换成 ϕ\phi：

sin⁡ϕ+12π=cos⁡ϕ\sin{\phi+\dfrac{1}{2}\pi}=\cos\phi

接着进行换元：令 ϕ=θ−12π\phi=\theta-\dfrac{1}{2}\pi，于是：

sin⁡ϕ−12π+12π=cos⁡ϕ−12π\sin{\phi-\dfrac{1}{2}\pi+\dfrac{1}{2}\pi}=\cos{\phi-\dfrac{1}{2}\pi}

因此我们得到了：

cos⁡θ−12π=sin⁡θ\cos{\theta-\dfrac{1}{2}\pi}=\sin\theta

同理，我们可以得到：

sin⁡θ−12π=−cos⁡θ cos⁡θ−12π=sin⁡θ tan⁡θ−12π=−cot⁡θ cot⁡θ−12π=−tan⁡θ sec⁡θ−12π=csc⁡θ csc⁡θ−12π=−sec⁡θ\sin{\theta-\dfrac{1}{2}\pi}=-\cos\theta\\\,\\ \cos{\theta-\dfrac{1}{2}\pi}=\sin\theta\\\,\\ \tan{\theta-\dfrac{1}{2}\pi}=-\cot\theta\\\,\\ \cot{\theta-\dfrac{1}{2}\pi}=-\tan\theta\\\,\\ \sec{\theta-\dfrac{1}{2}\pi}=\csc\theta\\\,\\ \csc{\theta-\dfrac{1}{2}\pi}=-\sec\theta

嗯对，读者自证不难。

4.8 一个容易记忆的口诀

我们都很熟悉一个口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，这个经常会出现在网络上各种小说和短视频中。但是它到底是什么意思呢？

4.8.1 奇变偶不变

“奇变偶不变”意思是：三角函数的参数形式是 ±θ+k2π±\theta+\dfrac{k}{2}\pi，其中 kk 是奇数则要将三角函数进行改变，kk 是偶数则不用变。具体怎么变，我们在上面已经看到过了，sin⁡\sin 和 cos⁡\cos 互相转化，tan⁡\tan 和 cot⁡\cot 互相转化，sec⁡\sec 和 csc⁡\csc 互相转化，即对应的“正”函数和“余”函数之间的变化，加上或者减去一个前缀 coco。

例如，sec⁡52π−θ\sec{\dfrac{5}{2}\pi-\theta} 的结果是什么呢？函数的参数是 52π−θ\dfrac{5}{2}\pi-\theta，即 −θ+k2π  (k=5)-\theta+\dfrac{k}{2}\pi\,\,(k=5)，因此 kk 为奇数，函数 sec⁡\sec 会变成函数 csc⁡\csc。放心大胆地给 csc⁡\csc 传入一个 θ\theta 作为参数即可，至于其正负性先放一放。
那么，tan⁡θ−3π\tan{\theta-3\pi} 结果有时什么呢？参数是 θ−3π\theta-3\pi，或者写成 θ−k2π  (k=6)\theta-\dfrac{k}{2}\pi\,\,(k=6)，由于 kk 是偶数，所以函数不用变化，直接写成 tan⁡θ\tan\theta，至于正负性也暂时放放。

4.8.2 符号看象限

“符号看象限”稍微有点难以理解。我们知道原式的结果是 唯一 的，因此，不妨假设角 θ\theta 是锐角（即第一象限角）。接着找出 ±θ+k2π±\theta+\dfrac{k}{2}\pi 所在的象限，最后根据 ASTCASTC 原则判断 原函数 传入这个参数的结果是正是负。

举个例子，拿我们上面探究过的 sin⁡θ+12π\sin{\theta+\dfrac{1}{2}\pi} 看看究竟怎么回事：

  1. 根据“奇变偶不变”，可以发现 k=1k=1，因此它是奇数，函数需要发生改变，加上前缀 coco 变成 cos⁡θ\cos\theta；
  2. 根据“符号看象限”，假设 θ\theta 为第一象限角，那么 θ+12π\theta+\dfrac{1}{2}\pi 就是第二象限角，而 ASTCASTC 原则提到，第二象限角的 sin⁡\sin 值为正，因此符号为正。

综上所述，sin⁡θ+12π=cos⁡θ\sin{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}=\cos\theta

再随便写一个例子：csc⁡72π−θ\csc{\dfrac{7}{2}\pi-\theta} 的值是什么？

  1. 根据“奇变偶不变”，可以发现 k=7k=7，是奇数，因此需要发生改变，把 csc⁡\csc 去掉 coco 前缀变成 sec⁡θ\sec\theta；
  2. 根据“符号看象限”，假设 θ\theta 为第一象限角（甚至于你可以假设它是一个具体的值，如 14π\dfrac{1}{4}\pi），那么 72−θ  ⟺  32π−θ>32π−12π=π\dfrac{7}{2}-\theta\iff\dfrac{3}{2}\pi-\theta>\dfrac{3}{2}\pi-\dfrac{1}{2}\pi=\pi，因此它是第三象限角。
    别忘了 csc⁡θ=1sin⁡θ\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}，也就是说 csc⁡\csc 和 sin⁡\sin 的正负性保持一致（∞\infty 的情况除外），而 ASTCASTC 中表示第三象限为正的是 TT，即 tan⁡\tan，不是 sin⁡\sin，因此它的结果是负的，符号为负。

综上所述，csc⁡72−θ=−sec⁡θ\csc{\dfrac{7}{2}-\theta}=-\sec\theta。

5. 和差角公式

让你计算 sin⁡θ+12π\sin{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}，我相信这对于你而言一定是轻而易举了。那么，更一般的，如果计算 sin⁡α+β\sin{\alpha+\beta} 你应该怎么算呢？

5.1. 正余弦的和角公式

我们不妨像之前一样，再次把目光放在三垂直模型身上。像这样：

（依旧Python绘图）

外层这是一个矩形 ABCDABCD（切记不一定要是正方形！）里面套了一个三垂直模型，已经标出 ∠α\angle\alpha 和 ∠β\angle\beta，我们设 AFAF 的长度为 11，以便于后续计算。

我们知道，sin⁡A=ac\sin A=\dfrac{a}{c}，因此可以恒等变形得到 a=csin⁡Aa=c\sin A。特别的，当斜边为 11 时，可以得到 a=sin⁡Aa=\sin A。同样的道理，b=cos⁡Ab=\cos A。

这样子，∠β\angle\beta 在（用红色标出直角的）直角三角形中的对边 EFEF 长度为 sin⁡β\sin\beta，邻边 AEAE 长度为 cos⁡β\cos\beta。同理可得，最下面的直角三角形中，∠α\angle\alpha 的对边 BEBE 长度为 sin⁡αcos⁡β\sin\alpha\cos\beta，邻边 ABAB 长度为 cos⁡αcos⁡β\cos\alpha\cos\beta。

貌似无法继续推出其它边的长度了，但是别忘了我们用的是三垂直模型！因此，我们可以求出 ∠AEB\angle AEB 的大小为 12π−α\dfrac{1}{2}\pi-\alpha，从而得到 ∠CEF\angle CEF 的大小为 α\alpha。由于先前已经得到了 EF=sin⁡βEF=\sin\beta，所以，CE=cos⁡αsin⁡β,CF=sin⁡αsin⁡βCE=\cos\alpha\sin\beta,CF=\sin\alpha\sin\beta。

根据上图，可以得到 ∠BAF=α+β\angle BAF=\alpha+\beta，因此，继续构造直角三角形从而得到 sin⁡α+β\sin{\alpha+\beta} 以及 cos⁡α+β\cos{\alpha+\beta} 的长度。如图，过 FF 作 FH⊥ABFH\perp AB 于 HH，则有 FH=sin⁡α+β,AH=cos⁡α+βFH=\sin{\alpha+\beta},AH=\cos{\alpha+\beta}。

由矩形的判定可以知道，四边形 CFHBCFHB 为矩形，因此，CF=HB,FH=BCCF=HB,FH=BC，于是我们有：

sin⁡α+β=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡βcos⁡α+β=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\sin{\alpha+\beta}=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\\cos{\alpha+\beta}=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta

5.2. 正切的和角公式

接着来看看 tan⁡α+β\tan{\alpha+\beta} 等于什么。
我们从 tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} 的定义出发，可以得到下面的结果：
       tan⁡α+β=sin⁡α+βcos⁡α+β=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β=sin⁡αcos⁡βcos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β+cos⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β=sin⁡αcos⁡β(sin⁡αtan⁡α)cos⁡β−sin⁡α(cos⁡βtan⁡β)+cos⁡αsin⁡βcos⁡α(sin⁡βtan⁡β)−(cos⁡αtan⁡α)sin⁡β=sin⁡αcos⁡βsin⁡αcos⁡β(1tan⁡α−tan⁡β)+cos⁡αsin⁡βcos⁡αsin⁡β(1tan⁡β−tan⁡α)=tan⁡α1−tan⁡αtan⁡β+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\,\,\,\,\,\,\,\tan{\alpha+\beta}\\ =\cfrac{\sin{\alpha+\beta}}{\cos{\alpha+\beta}}\\ =\cfrac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}\\ =\cfrac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}+\cfrac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}\\ =\cfrac{\sin\alpha\cos\beta}{(\cfrac{\sin\alpha}{\tan\alpha})\cos\beta-\sin\alpha(\cos\beta\tan\beta)}+\cfrac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha(\cfrac{\sin\beta}{\tan\beta})-(\cos\alpha\tan\alpha)\sin\beta}\\ =\cfrac{\sin\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\cos\beta(\cfrac{1}{\tan\alpha}-\tan\beta)}+\cfrac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\sin\beta(\cfrac{1}{\tan\beta}-\tan\alpha)}\\ =\cfrac{\tan\alpha}{1-\tan\alpha\tan\beta}+\cfrac{\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\\ =\cfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}

于是我们历经千辛万苦推导出了正切的和角公式：

tan⁡α+β=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan{\alpha+\beta}=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}

5.3. 差角公式

形如 sin⁡α+β=⋯\sin{\alpha+\beta}=\cdots 的公式叫做和角公式。顾名思义，形如 sin⁡α−β=⋯\sin{\alpha-\beta}=\cdots 的公式叫做差角公式。

差角公式无需再画图推导。我们以 sin⁡α−β\sin{\alpha-\beta} 为例。根据有理数的运算法则，可以知道 α−β=α+(−β)\alpha-\beta=\alpha+(-\beta)，因此：
      sin⁡α−β=sin⁡α+(−β)=sin⁡αcos⁡(−β)+cos⁡αsin⁡(−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\,\,\,\,\,\,\sin{\alpha-\beta}\\ =\sin{\alpha+(-\beta)}\\ =\sin\alpha\cos(-\beta)+\cos\alpha\sin(-\beta)\\ =\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta

最后一步只是根据奇函数和偶函数的性质得到。sin⁡x\sin x 是奇函数，因此 sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x)=-\sin x；cos⁡x\cos x 是偶函数，因此 cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos x。所以：

sin⁡α−β=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin{\alpha-\beta}=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta

同样的道理，我们有：

cos⁡α−β=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos{\alpha-\beta}=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta

还有：

tan⁡α−β=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\tan{\alpha-\beta}=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}

这个留给你来证明。（提示：正切的差角公式利用了正切是奇函数这一点）

5.4. 二倍角公式

现在如果让你来算 sin⁡2θ\sin{2\theta}，简直易如反掌：
令 α=β=θ\alpha=\beta=\theta，则 sin⁡2θ=sin⁡α+β=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β=2sin⁡θcos⁡θ\sin{2\theta}=\sin{\alpha+\beta}=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=2\sin\theta\cos\theta
所以：

sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin{2\theta}=2\sin\theta\cos\theta

同样的道理：

cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos{2\theta}=\cos^2\theta-\sin^2\theta

以及：

tan⁡2θ=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan{2\theta}=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}

特别的，余弦的二倍角公式还可以经过变形，得到：

cos⁡2θ=cos⁡2θ+sin⁡2θ−2sin⁡2θ=1−2sin⁡2θ\cos{2\theta}=\cos^2\theta+\sin^2\theta-2\sin^2\theta=1-2\sin^2\theta

或者：

cos⁡2θ=2cos⁡2θ−cos⁡2θ−sin⁡2θ=2cos⁡2θ−1\cos{2\theta}=2\cos^2\theta-\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1

于是，进一步变形，我们就得到了：

sin⁡2θ=1−cos⁡2θ2 cos⁡2θ=1+cos⁡2θ2\sin^2\theta=\dfrac{1-\cos{2\theta}}{2}\\\,\\ \cos^2\theta=\dfrac{1+\cos{2\theta}}{2}

※5.5. 三倍角公式

这是一个比较冷门的话题。

为了有时候计算一些冷门角度的三角比，比如我的某个兄弟想要探究sin20°，我们可以使用到三倍角公式。
先看看如何推导出三倍角公式：
      sin⁡3θ=sin⁡θ+2θ=sin⁡θcos⁡2θ+cos⁡θsin⁡2θ=sin⁡θ(cos⁡2θ−sin⁡2θ)+cos⁡θ(2sin⁡θcos⁡θ)=sin⁡θcos⁡2θ−sin⁡3θ+2sin⁡θcos⁡2θ=3sin⁡θcos⁡2θ−sin⁡3θ=3sin⁡θ(1−sin⁡2θ)−sin⁡3θ=3sin⁡θ−3sin⁡3θ−sin⁡3θ=3sin⁡θ−4sin⁡3θ\,\,\,\,\,\,\sin{3\theta}\\ =\sin{\theta+2\theta}\\ =\sin\theta\cos{2\theta}+\cos\theta\sin{2\theta}\\ =\sin\theta(\cos^2\theta-\sin^2\theta)+\cos\theta(2\sin\theta\cos\theta)\\ =\sin\theta\cos^2\theta-\sin^3\theta+2\sin\theta\cos^2\theta\\ =3\sin\theta\cos^2\theta-\sin^3\theta\\ =3\sin\theta(1-\sin^2\theta)-\sin^3\theta\\ =3\sin\theta-3\sin^3\theta-\sin^3\theta\\ =3\sin\theta-4\sin^3\theta
以及：
      cos⁡3θ=cos⁡2θ+θ=cos⁡2θcos⁡θ−sin⁡2θsin⁡θ=(cos⁡2θ−sin⁡2θ)cos⁡θ−(2sin⁡θcos⁡θ)sin⁡θ=cos⁡3θ−sin⁡2θcos⁡θ−2sin⁡2θcos⁡θ=cos⁡3θ−3sin⁡2θcos⁡θ=cos⁡3θ−3(1−cos⁡2θ)cos⁡θ=cos⁡3θ−3cos⁡θ+3cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\,\,\,\,\,\,\cos{3\theta}\\ =\cos{2\theta+\theta}\\ =\cos{2\theta}\cos\theta-\sin{2\theta}\sin\theta\\ =(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\cos\theta-(2\sin\theta\cos\theta)\sin\theta\\ =\cos^3\theta-\sin^2\theta\cos\theta-2\sin^2\theta\cos\theta\\ =\cos^3\theta-3\sin^2\theta\cos\theta\\ =\cos^3\theta-3(1-\cos^2\theta)\cos\theta\\ =\cos^3\theta-3\cos\theta+3\cos^3\theta\\ =4\cos^3\theta-3\cos\theta
现在是时候帮助我兄弟算出这个诡异的正弦值了：我们设 sin⁡20°=x\sin{20\degree}=x，因为 sin⁡60°=32\sin{60\degree}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}，所以可以列出方程：

3x−4x3=323x-4x^3=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

但愿我的那个兄弟会解一元三次方程。

（持续更新中，正在更新正余弦定理篇，全部更新完会加上#创作计划#）

往期话题：
详解函数#1 针对三大函数的解读

参考文献：《普林斯顿微积分》

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