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勾股定理证明（面积法）
已知：直角三角形的两条直角边长为 a 和 b，斜边长为 c。
求证：a² + b² = c²
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证明步骤
1. 构造图形
作一个大正方形，边长为 a + b。
在每条边上，从同一顶点开始，先取长度 a，再取长度 b，得到四个分点。
连接这四个分点，得到一个内接的小正方形。
2. 证明内接四边形是正方形
* 大正方形被分成了四个全等的直角三角形（因为每个直角三角形的两条直角边都是 a 和 b，夹角是直角）。
* 由全等可知，内接四边形的四条边相等。
* 又因为每个内角都是直角（可由全等三角形的对应角相加为90°得到），所以它是正方形。
* 设这个小正方形的边长为 d。
3. 证明 d = c
每个小直角三角形的斜边就是 d，而它们与原直角三角形全等（SAS：两直角边 a, b 及夹角直角对应相等），所以斜边相等，即 d = c。
4. 面积计算
* 大正方形面积 = (a + b)² = a² + 2ab + b²
* 大正方形由4个直角三角形和中间小正方形组成：
4个三角形面积 = 4 × (1/2)ab = 2ab
小正方形面积 = d² = c²
* 所以： 两边同时减去 2ab，得到：
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证毕
