A93163.「NOI2023」桂花树

小 B 八年前看到的桂花树是一棵 $n$ 个节点的树 $T$，保证 $T$ 的非根结点的父亲的编号小于自己。给定整数 $k$，称一棵 $(n+m)$ 个节点的有根树 $T^{\prime}$ 是繁荣的，当且仅当以下所有条件满足：

1. 对于任意满足 $1 \le i,j \le n$ 的 $(i,j)$，在树 $T$ 和树 $T^{\prime}$ 上，节点 $i$ 和 $j$ 的最近公共祖先编号相同。
2. 对于任意满足 $1 \le i,j \le n + m$ 的 $(i,j)$，在树 $T^{\prime}$ 上，节点 $i$ 和 $j$ 的最近公共祖先编号不超过 $\max(i,j)+k$。

注意题目中所有树的节点均从 $1$ 开始编号，且根结点编号为 $1$。$T^{\prime}$ 不需要满足非根结点的父亲编号小于自己。

小 B 想知道有多少棵 $(n+m)$ 个节点的树是繁荣的，认为两棵树不同当且仅当存在某一个节点在两棵树上的父亲不同。你只输出方案数在模 $(10^9+7)$ 意义下的值。

从文件 tree.in 中读入数据。

本题有多组测试数据。

输入的第一行包含两个整数 $c,t$，分别表示测试点编号和测试数据组数。$c=0$ 表示该测试点为样例。

接下来依次输入每组测试数据，对于每组测试数据：

输入的第一行包含三个整数 $n,m,k$。

输入的第二行包含 $n-1$ 个整数 $f_2,f_2,\dots,f_n$，其中 $f_i$ 表示 $T$ 中节点 $i$ 的父亲节点编号。

输出到文件 tree.out 中。

对于每组测试数据输出一行一个整数，表示繁荣的树的数量在模 $(10^9+7)$ 意义下的答案。

对于所有测试数据保证：$1 \le t \le 15$，$1 \le n \le 3 \times 10^4$，$0 \le m \le 3000$，$0 \le k \le 10$，$1 \le f_i \le i - 1$。

测试点编号	$n \le$	$m \le $	$k \le $
$1,2$	$ 4$	$4$	$10$
$3$	$3\times 10^4$	$0$	$10$
$4$	$10^2$	$1$	$10$
$5$	$3 \times 10^4$	$1$	$10$
$6$	$10^2$	$2$	$10$
$7$	$3\times 10^4$	$2$	$10$
$8,9$	$1$	$10^2$	$0$
$10$	$1$	$3,000$	$0$
$11$	$1$	$10^2$	$10$
$12$	$1$	$3,000$	$10$
$13,14$	$ 10^2$	$10^2$	$0$
$15,16$	$3\times 10^4$	$3,000$	$0$
$17,18$	$ 10^2$	$10^2$	$10$
$19,20$	$3\times 10^4$	$3,000$	$10$