A92100.「USACO 2021.1 Platinum」Sum of Distances

题目来自 USACO 2021 January Contest, Platinum Problem 1. Sum of Distances。

Bessie 有一些无向连通图 $G_1, G_2, \ldots , G_K$（$2 \le K \le 5 \times {10}^4$）。对于每一个 $1 \le i \le K$，$G_i$ 有 $N_i$（$N_i \ge 2$）个编号为 $1 \ldots N_i$ 的结点与 $M_i$（$M_i \ge N_i - 1$）条边。$G_i$ 可能含有自环，但同一对结点之间不会存在多条边。

现在 Elsie 用 $N_1 \cdot N_2 \cdot \ldots \cdot N_K$ 个结点建立了一个新的无向图 $G$，每个结点用一个 $K$ 元组 $(j_1, j_2, \ldots , j_K)$ 标号，其中 $1 \le j_i \le N_i$。若对于所有的 $1 \le i \le K$，$j_i$ 与 $k_i$ 在 $G_i$ 中连有一条边，则在 $G$ 中结点 $(j_1, j_2, \ldots , j_K)$ 和 $(k_1, k_2, \ldots , k_K)$ 之间连有一条边。

定义 $G$ 中位于同一连通分量的两个结点的距离为从一个结点到另一个结点的路径上的最小边数。计算 $G$ 中结点 $(1, 1, \ldots, 1)$ 与所有与其在同一连通分量的结点的距离之和，对 ${10}^9 + 7$ 取模。

输入的第一行包含 $K$，为图的数量。

每个图的描述的第一行包含 $N_i$ 和 $M_i$，以下是 $M_i$ 条边。

为提高可读性，相邻的图之间用一个空行隔开。输入保证 $\sum N_i \le {10}^5$ 以及 $\sum M_i \le 2 \times {10}^5$。

输出结点 $(1, 1, \ldots, 1)$ 与所有该结点可以到达的结点的距离之和，对 ${10}^9 + 7$ 取模。

测试点 $3 \sim 4$ 满足 $\prod N_i \le 300$。
测试点 $5 \sim 10$ 满足 $\sum N_i \le 300$。
测试点 $11 \sim 20$ 没有额外限制。