CF1838E.Count Supersequences

You are given an array $a$ of $n$ integers, where all elements $a_i$ lie in the range $[1, k]$. How many different arrays $b$ of $m$ integers, where all elements $b_i$ lie in the range $[1, k]$, contain $a$ as a subsequence? Two arrays are considered different if they differ in at least one position.

A sequence $x$ is a subsequence of a sequence $y$ if $x$ can be obtained from $y$ by the deletion of several (possibly, zero or all) elements.

Since the answer may be large, print it modulo $10^9 + 7$.

给你一个包含 $n$ 个整数的数组 $a$，其中所有元素 $a_i$ 均在区间 $[1, k]$ 内。问：有多少个长度为 $m$ 的不同数组 $b$（其中每个元素 $b_i$ 均在区间 $[1, k]$ 内），使得 $a$ 是 $b$ 的一个子序列？若两个数组在至少一个位置上的元素不同，则认为它们是不同的。

序列 $x$ 是序列 $y$ 的一个子序列，当且仅当 $x$ 可通过从 $y$ 中删除若干（可能为零个或全部）元素而得到。

由于答案可能很大，请输出其对 $10^9 + 7$ 取模的结果。

The first line of the input contains a single integer $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — the number of test cases. The description of the test cases follows.

The first line of each test case contains three integers $n$, $m$, $k$ ($1 \le n \le 2\cdot 10^5$, $n \le m \le 10^9$, $1 \le k \le 10^9$) — the size of $a$, the size of $b$, and the maximum value allowed in the arrays, respectively.

The next line of each test case contains $n$ integers $a_1, a_2, \ldots a_n$ ($1\le a_i \le k$) — the elements of the array $a$.

It is guaranteed that the sum of $n$ over all test cases does not exceed $2\cdot 10^5$.

输入的第一行包含一个整数 $t$（$1 \le t \le 10^4$），表示测试用例的数量。随后是各测试用例的描述。

每个测试用例的第一行包含三个整数 $n$、$m$、$k$（$1 \le n \le 2\cdot 10^5$，$n \le m \le 10^9$，$1 \le k \le 10^9$），分别表示数组 $a$ 的大小、数组 $b$ 的大小以及数组中允许的最大值。

每个测试用例的下一行包含 $n$ 个整数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$（$1 \le a_i \le k$），即数组 $a$ 的元素。

保证所有测试用例中 $n$ 的总和不超过 $2\cdot 10^5$。

For each test case, output a single integer — the number of suitable arrays $b$, modulo $10^9+7$.

对于每个测试用例，输出一个整数——满足条件的数组 $b$ 的个数，对 $10^9+7$ 取模。

For the first example, since $k=1$, there is only one array of size $m$ consisting of the integers $[1, k]$. This array ($[1, 1, \ldots, 1]$) contains the original array as a subsequence, so the answer is 1.

For the second example, the $9$ arrays are $[1, 1, 2, 2]$, $[1, 2, 1, 2]$, $[1, 2, 2, 1]$, $[1, 2, 2, 2]$, $[1, 2, 2, 3]$, $[1, 2, 3, 2]$, $[1, 3, 2, 2]$, $[2, 1, 2, 2]$, $[3, 1, 2, 2]$.

For the fourth example, since $m=n$, the only array of size $m$ that contains $a$ as a subsequence is $a$ itself.

对于第一个例子，由于 $k=1$，仅存在一个长度为 $m$、由区间 $[1, k]$ 内整数构成的数组。该数组（即 $[1, 1, \ldots, 1]$）包含原数组作为其子序列，因此答案为 1。

对于第二个例子，这 $9$ 个数组分别是：$[1, 1, 2, 2]$、$[1, 2, 1, 2]$、$[1, 2, 2, 1]$、$[1, 2, 2, 2]$、$[1, 2, 2, 3]$、$[1, 2, 3, 2]$、$[1, 3, 2, 2]$、$[2, 1, 2, 2]$、$[3, 1, 2, 2]$。

对于第四个例子，由于 $m=n$，唯一一个以 $a$ 为子序列的长度为 $m$ 的数组就是 $a$ 本身。