CF1844B.Permutations & Primes

You are given a positive integer $n$.

In this problem, the $\operatorname{MEX}$ of a collection of integers $c_1,c_2,\dots,c_k$ is defined as the smallest positive integer $x$ which does not occur in the collection $c$.

The primality of an array $a_1,\dots,a_n$ is defined as the number of pairs $(l,r)$ such that $1 \le l \le r \le n$ and $\operatorname{MEX}(a_l,\dots,a_r)$ is a prime number.

Find any permutation of $1,2,\dots,n$ with the maximum possible primality among all permutations of $1,2,\dots,n$.

Note:

• A prime number is a number greater than or equal to $2$ that is not divisible by any positive integer except $1$ and itself. For example, $2,5,13$ are prime numbers, but $1$ and $6$ are not prime numbers.
• A permutation of $1,2,\dots,n$ is an array consisting of $n$ distinct integers from $1$ to $n$ in arbitrary order. For example, $[2,3,1,5,4]$ is a permutation, but $[1,2,2]$ is not a permutation ($2$ appears twice in the array), and $[1,3,4]$ is also not a permutation ($n=3$ but there is $4$ in the array).

给你一个正整数 $n$。

在本题中，整数集合 $c_1,c_2,\dots,c_k$ 的 $\operatorname{MEX}$ 定义为未出现在该集合 $c$ 中的最小正整数 $x$。

数组 $a_1,\dots,a_n$ 的**素性（primality）**定义为满足 $1 \le l \le r \le n$ 且 $\operatorname{MEX}(a_l,\dots,a_r)$ 为质数的区间对 $(l,r)$ 的个数。

请构造 $1,2,\dots,n$ 的任意一个排列，使其素性在所有 $1,2,\dots,n$ 的排列中达到最大可能值。

注意：

• 质数是指大于等于 $2$ 且除了 $1$ 和它自身外不能被任何正整数整除的数。例如，$2,5,13$ 是质数，但 $1$ 和 $6$ 不是质数。
• $1,2,\dots,n$ 的一个排列是指由 $1$ 到 $n$ 这 $n$ 个互不相同的整数以任意顺序组成的数组。例如，$[2,3,1,5,4]$ 是一个排列，但 $[1,2,2]$ 不是排列（数字 $2$ 出现了两次），$[1,3,4]$ 也不是排列（此时 $n=3$，但数组中出现了 $4$）。

Each test contains multiple test cases. The first line contains the number of test cases $t$ ($1 \le t \le 10^4$). The description of the test cases follows.

The only line of each test case contains a single integer $n$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$).

It is guaranteed that the sum of $n$ over all test cases does not exceed $2 \cdot 10^5$.

每个测试包含多个测试用例。第一行包含测试用例的数量 $t$（$1 \le t \le 10^4$）。随后是各测试用例的描述。

每个测试用例仅有一行，包含一个整数 $n$（$1 \le n \le 2 \cdot 10^5$）。

保证所有测试用例的 $n$ 之和不超过 $2 \cdot 10^5$。

For each test case, output $n$ integers: a permutation of $1,2,\dots,n$ that achieves the maximum possible primality.

If there are multiple solutions, print any of them.

对于每个测试用例，输出 $n$ 个整数：一个 $1,2,\dots,n$ 的排列，使得其素性（primality）达到最大可能值。

如果存在多个解，输出任意一个即可。

In the first test case, there are $3$ pairs $(l,r)$ with $1 \le l \le r \le 2$, out of which $2$ have a prime $\operatorname{MEX}(a_l,\dots,a_r)$:

• $(l,r) = (1,1)$: $\operatorname{MEX}(2) = 1$, which is not prime.
• $(l,r) = (1,2)$: $\operatorname{MEX}(2,1) = 3$, which is prime.
• $(l,r) = (2,2)$: $\operatorname{MEX}(1) = 2$, which is prime.

Therefore, the primality is $2$.

In the second test case, $\operatorname{MEX}(1) = 2$ is prime, so the primality is $1$.

In the third test case, the maximum possible primality is $8$.

在第一个测试用例中，满足 $1 \le l \le r \le 2$ 的 $(l,r)$ 对共有 $3$ 个，其中 $2$ 个子数组的 $\operatorname{MEX}(a_l,\dots,a_r)$ 是质数：

• $(l,r) = (1,1)$：$\operatorname{MEX}(2) = 1$，不是质数。
• $(l,r) = (1,2)$：$\operatorname{MEX}(2,1) = 3$，是质数。
• $(l,r) = (2,2)$：$\operatorname{MEX}(1) = 2$，是质数。

因此，质性（primality）为 $2$。

在第二个测试用例中，$\operatorname{MEX}(1) = 2$ 是质数，故质性为 $1$。

在第三个测试用例中，质性的最大可能值为 $8$。