CF1784C.Monsters (hard version)

This is the hard version of the problem. In this version, you need to find the answer for every prefix of the monster array.

In a computer game, you are fighting against $n$ monsters. Monster number $i$ has $a_i$ health points, all $a_i$ are integers. A monster is alive while it has at least $1$ health point.

You can cast spells of two types:

1. Deal $1$ damage to any single alive monster of your choice.
2. Deal $1$ damage to all alive monsters. If at least one monster dies (ends up with $0$ health points) as a result of this action, then repeat it (and keep repeating while at least one monster dies every time).

Dealing $1$ damage to a monster reduces its health by $1$.

Spells of type 1 can be cast any number of times, while a spell of type 2 can be cast at most once during the game.

For every $k = 1, 2, \ldots, n$, answer the following question. Suppose that only the first $k$ monsters, with numbers $1, 2, \ldots, k$, are present in the game. What is the smallest number of times you need to cast spells of type 1 to kill all $k$ monsters?

这是该问题的困难版本。在本版本中，你需要对怪物数组的每个前缀求解答案。

在一款电脑游戏中，你正在与 $n$ 个怪物战斗。第 $i$ 个怪物有 $a_i$ 点生命值，所有 $a_i$ 均为整数。只要一个怪物的生命值至少为 $1$，它就仍处于存活状态。

你可以施放两种类型的法术：

1. 对任意一个你选择的存活怪物造成 $1$ 点伤害；
2. 对所有存活怪物各造成 $1$ 点伤害。若此次施法导致至少一个怪物死亡（即其生命值恰好变为 $0$），则立即重复该法术（并持续重复，直到某次施法不再导致任何怪物死亡为止）。

对一个怪物造成 $1$ 点伤害会使其生命值减少 $1$。

类型 1 的法术可以施放任意多次，而类型 2 的法术在整个游戏中最多只能施放一次。

对每个 $k = 1, 2, \ldots, n$，回答以下问题：假设游戏中仅有编号为 $1, 2, \ldots, k$ 的前 $k$ 个怪物存在，那么要消灭全部 $k$ 个怪物，你最少需要施放多少次类型 1 的法术？

Each test contains multiple test cases. The first line contains the number of test cases $t$ ($1 \le t \le 10^4$). The description of the test cases follows.

Each test case consists of two lines. The first line contains a single integer $n$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — the number of monsters.

The second line contains $n$ integers $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($1 \le a_i \le n$) — monsters' health points.

It is guaranteed that the sum of $n$ over all test cases does not exceed $2 \cdot 10^5$.

每个测试包含多个测试用例。第一行包含测试用例的数量 $t$（$1 \le t \le 10^4$）。随后是各测试用例的描述。

每个测试用例由两行组成。第一行包含一个整数 $n$（$1 \le n \le 2 \cdot 10^5$）——怪物的数量。

第二行包含 $n$ 个整数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$（$1 \le a_i \le n$）——怪物的生命值。

保证所有测试用例的 $n$ 之和不超过 $2 \cdot 10^5$。

For each test case, print $n$ integers. The $k$-th of these integers must be equal to the smallest number of times you need to cast spells of type 1 to kill all $k$ monsters, if only monsters with numbers $1, 2, \ldots, k$ are present in the game.

对于每个测试用例，输出 $n$ 个整数。其中第 $k$ 个整数必须等于：当游戏中仅存在编号为 $1, 2, \ldots, k$ 的怪物时，杀死全部 $k$ 只怪物所需施放类型 1 法术的最少次数。

In the first test case, for $k = n$, the initial health points of the monsters are $[3, 1, 2]$. It is enough to cast a spell of type 2:

• Monsters' health points change to $[2, 0, 1]$. Since monster number $2$ dies, the spell is repeated.
• Monsters' health points change to $[1, 0, 0]$. Since monster number $3$ dies, the spell is repeated.
• Monsters' health points change to $[0, 0, 0]$. Since monster number $1$ dies, the spell is repeated.
• Monsters' health points change to $[0, 0, 0]$.

Since it is possible to use no spells of type 1 at all, the answer is $0$.

In the second test case, for $k = n$, the initial health points of the monsters are $[4, 1, 5, 4, 1, 1]$. Here is one of the optimal action sequences:

• Using a spell of type 1, deal $1$ damage to monster number $1$. Monsters' health points change to $[3, 1, 5, 4, 1, 1]$.
• Using a spell of type 1, deal $1$ damage to monster number $4$. Monsters' health points change to $[3, 1, 5, 3, 1, 1]$.
• Using a spell of type 1, deal $1$ damage to monster number $4$ again. Monsters' health points change to $[3, 1, 5, 2, 1, 1]$.
• Use a spell of type 2:
  • Monsters' health points change to $[2, 0, 4, 1, 0, 0]$. Since monsters number $2$, $5$, and $6$ die, the spell is repeated.
  • Monsters' health points change to $[1, 0, 3, 0, 0, 0]$. Since monster number $4$ dies, the spell is repeated.
  • Monsters' health points change to $[0, 0, 2, 0, 0, 0]$. Since monster number $1$ dies, the spell is repeated.
  • Monsters' health points change to $[0, 0, 1, 0, 0, 0]$.
• Using a spell of type 1, deal $1$ damage to monster number $3$. Monsters' health points change to $[0, 0, 0, 0, 0, 0]$.

Spells of type 1 are cast $4$ times in total. It can be shown that this is the smallest possible number.

在第一个测试用例中，当 $k = n$ 时，怪物的初始生命值为 $[3, 1, 2]$。仅需施放一次类型 2 的法术即可：

• 怪物的生命值变为 $[2, 0, 1]$。由于编号为 $2$ 的怪物死亡，该法术被重复施放。
• 怪物的生命值变为 $[1, 0, 0]$。由于编号为 $3$ 的怪物死亡，该法术被重复施放。
• 怪物的生命值变为 $[0, 0, 0]$。由于编号为 $1$ 的怪物死亡，该法术被重复施放。
• 怪物的生命值变为 $[0, 0, 0]$。

由于完全可以不使用任何类型 1 的法术，因此答案为 $0$。

在第二个测试用例中，当 $k = n$ 时，怪物的初始生命值为 $[4, 1, 5, 4, 1, 1]$。以下是一种最优操作序列：

• 施放一次类型 1 的法术，对编号为 $1$ 的怪物造成 $1$ 点伤害。怪物的生命值变为 $[3, 1, 5, 4, 1, 1]$。
• 施放一次类型 1 的法术，对编号为 $4$ 的怪物造成 $1$ 点伤害。怪物的生命值变为 $[3, 1, 5, 3, 1, 1]$。
• 再次施放一次类型 1 的法术，对编号为 $4$ 的怪物造成 $1$ 点伤害。怪物的生命值变为 $[3, 1, 5, 2, 1, 1]$。
• 施放一次类型 2 的法术：
  • 怪物的生命值变为 $[2, 0, 4, 1, 0, 0]$。由于编号为 $2$、$5$ 和 $6$ 的怪物死亡，该法术被重复施放。
  • 怪物的生命值变为 $[1, 0, 3, 0, 0, 0]$。由于编号为 $4$ 的怪物死亡，该法术被重复施放。
  • 怪物的生命值变为 $[0, 0, 2, 0, 0, 0]$。由于编号为 $1$ 的怪物死亡，该法术被重复施放。
  • 怪物的生命值变为 $[0, 0, 1, 0, 0, 0]$。
• 施放一次类型 1 的法术，对编号为 $3$ 的怪物造成 $1$ 点伤害。怪物的生命值变为 $[0, 0, 0, 0, 0, 0]$。

类型 1 的法术总共被施放了 $4$ 次。可以证明这是可能的最小次数。