CF1770C.Koxia and Number Theory

Joi has an array $a$ of $n$ positive integers. Koxia wants you to determine whether there exists a positive integer $x \gt 0$ such that $\gcd(a_i+x,a_j+x)=1$ for all $1 \leq i \lt j \leq n$.

Here $\gcd(y, z)$ denotes the greatest common divisor (GCD) of integers $y$ and $z$.

Joi 有一个由 $n$ 个正整数组成的数组 $a$。Koxia 希望你判断是否存在一个正整数 $x \gt 0$，使得对所有满足 $1 \leq i \lt j \leq n$ 的下标对 $(i, j)$，均有 $\gcd(a_i+x,a_j+x)=1$。

其中，$\gcd(y, z)$ 表示整数 $y$ 和 $z$ 的最大公约数（GCD）。

Each test consists of multiple test cases. The first line contains a single integer $t$ ($1 \le t \le 100$) — the number of test cases. The description of test cases follows.

The first line of each test case contains an integer $n$ ($2 \leq n \leq 100$) — the size of the array.

The second line of each test case contains $n$ integers $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($1 \leq a_i \leq {10}^{18}$).

It is guaranteed that the sum of $n$ over all test cases does not exceed $1000$.

每个测试包含多个测试用例。第一行包含一个整数 $t$（$1 \le t \le 100$），表示测试用例的数量。随后是各测试用例的描述。

每个测试用例的第一行包含一个整数 $n$（$2 \leq n \leq 100$），表示数组的大小。

每个测试用例的第二行包含 $n$ 个整数 $a_1, a_2, \dots, a_n$（$1 \leq a_i \leq {10}^{18}$）。

保证所有测试用例的 $n$ 之和不超过 $1000$。

For each test case, output "YES" (without quotes) if there exists a positive integer $x$ such that $\gcd(a_i+x,a_j+x)=1$ for all $1 \leq i \lt j \leq n$, and "NO" (without quotes) otherwise.

You can output the answer in any case (upper or lower). For example, the strings "yEs", "yes", "Yes", and "YES" will be recognized as positive responses.

对于每个测试用例，如果存在一个正整数 $x$，使得对所有 $1 \leq i \lt j \leq n$ 均满足 $\gcd(a_i+x,a_j+x)=1$，则输出 "YES"（不带引号）；否则输出 "NO"（不带引号）。

你可以以任意大小写形式输出答案（大写或小写均可）。例如，字符串 "yEs"、"yes"、"Yes" 和 "YES" 均会被识别为肯定回答。

In the first test case, we can set $x = 4$. This is valid because:

• When $i=1$ and $j=2$, $\gcd(a_i+x,a_j+x)=\gcd(5+4,7+4)=\gcd(9,11)=1$.
• When $i=1$ and $j=3$, $\gcd(a_i+x,a_j+x)=\gcd(5+4,10+4)=\gcd(9,14)=1$.
• When $i=2$ and $j=3$, $\gcd(a_i+x,a_j+x)=\gcd(7+4,10+4)=\gcd(11,14)=1$.

In the second test case, any choice of $x$ makes $\gcd(a_1 + x, a_2 + x) = \gcd(3+x,3+x)=3+x$. Therefore, no such $x$ exists.

在第一个测试用例中，我们可以取 $x = 4$。该取值是合法的，因为：

• 当 $i=1$ 且 $j=2$ 时，$\gcd(a_i+x,a_j+x)=\gcd(5+4,7+4)=\gcd(9,11)=1$。
• 当 $i=1$ 且 $j=3$ 时，$\gcd(a_i+x,a_j+x)=\gcd(5+4,10+4)=\gcd(9,14)=1$。
• 当 $i=2$ 且 $j=3$ 时，$\gcd(a_i+x,a_j+x)=\gcd(7+4,10+4)=\gcd(11,14)=1$。

在第二个测试用例中，对任意 $x$，均有 $\gcd(a_1 + x, a_2 + x) = \gcd(3+x,3+x)=3+x$。因此，不存在满足条件的 $x$。