CF1706D2.Chopping Carrots (Hard Version)

This is the hard version of the problem. The only difference between the versions is the constraints on $n$, $k$, $a_i$, and the sum of $n$ over all test cases. You can make hacks only if both versions of the problem are solved.

Note the unusual memory limit.

You are given an array of integers $a_1, a_2, \ldots, a_n$ of length $n$, and an integer $k$.

The cost of an array of integers $p_1, p_2, \ldots, p_n$ of length $n$ is $$\max\limits_{1 \le i \le n}\left(\left \lfloor \frac{a_i}{p_i} \right \rfloor \right) - \min\limits_{1 \le i \le n}\left(\left \lfloor \frac{a_i}{p_i} \right \rfloor \right).$$

Here, $\lfloor \frac{x}{y} \rfloor$ denotes the integer part of the division of $x$ by $y$. Find the minimum cost of an array $p$ such that $1 \le p_i \le k$ for all $1 \le i \le n$.

这是该问题的困难版本。两个版本的唯一区别在于对 $n$、$k$、$a_i$ 以及所有测试用例中 $n$ 的总和的约束条件。仅当两个版本的问题均被解决时，才允许进行 Hack。

注意：本题具有非同寻常的内存限制。

给定一个长度为 $n$ 的整数数组 $a_1, a_2, \ldots, a_n$，以及一个整数 $k$。

长度为 $n$ 的整数数组 $p_1, p_2, \ldots, p_n$ 的代价定义为

$$\max\limits_{1 \le i \le n}\left(\left \lfloor \frac{a_i}{p_i} \right \rfloor \right) - \min\limits_{1 \le i \le n}\left(\left \lfloor \frac{a_i}{p_i} \right \rfloor \right).$$

其中，$\lfloor \frac{x}{y} \rfloor$ 表示 $x$ 除以 $y$ 的商的整数部分（即向下取整）。请找出满足对所有 $1 \le i \le n$ 均有 $1 \le p_i \le k$ 的数组 $p$ 的最小可能代价。

The first line contains a single integer $t$ ($1 \le t \le 100$) — the number of test cases.

The first line of each test case contains two integers $n$ and $k$ ($1 \le n, k \le 10^5$).

The second line contains $n$ integers $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($1 \le a_1 \le a_2 \le \ldots \le a_n \le 10^5$).

It is guaranteed that the sum of $n$ over all test cases does not exceed $10^5$.

第一行包含一个整数 $t$（$1 \le t \le 100$）—— 表示测试用例的数量。

每个测试用例的第一行包含两个整数 $n$ 和 $k$（$1 \le n, k \le 10^5$）。

第二行包含 $n$ 个整数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$（$1 \le a_1 \le a_2 \le \ldots \le a_n \le 10^5$）。

保证所有测试用例的 $n$ 之和不超过 $10^5$。

For each test case, print a single integer — the minimum possible cost of an array $p$ satisfying the condition above.

对于每个测试用例，输出一个整数——满足上述条件的数组 $p$ 的最小可能代价。

In the first test case, the optimal array is $p = [1, 1, 1, 2, 2]$. The resulting array of values of $\lfloor \frac{a_i}{p_i} \rfloor$ is $[4, 5, 6, 4, 5]$. The cost of $p$ is $\max\limits_{1 \le i \le n}(\lfloor \frac{a_i}{p_i} \rfloor) - \min\limits_{1 \le i \le n}(\lfloor \frac{a_i}{p_i} \rfloor) = 6 - 4 = 2$. We can show that there is no array (satisfying the condition from the statement) with a smaller cost.

In the second test case, one of the optimal arrays is $p = [12, 12, 12, 12, 12]$, which results in all $\lfloor \frac{a_i}{p_i} \rfloor$ being $0$.

In the third test case, the only possible array is $p = [1, 1, 1]$.

在第一个测试用例中，最优数组为 $p = [1, 1, 1, 2, 2]$。对应得到的 $\lfloor \frac{a_i}{p_i} \rfloor$ 数组为 $[4, 5, 6, 4, 5]$。数组 $p$ 的代价为 $\max\limits_{1 \le i \le n}(\lfloor \frac{a_i}{p_i} \rfloor) - \min\limits_{1 \le i \le n}(\lfloor \frac{a_i}{p_i} \rfloor) = 6 - 4 = 2$。可以证明：不存在满足题目条件且代价更小的数组。

在第二个测试用例中，一个最优数组为 $p = [12, 12, 12, 12, 12]$，此时所有 $\lfloor \frac{a_i}{p_i} \rfloor$ 均为 $0$。

在第三个测试用例中，唯一可能的数组为 $p = [1, 1, 1]$。