CF1990F.Polygonal Segments

给定一个长度为 $n$ 的数组 $a$。

一个区间 $[l, r]$（$1 \le l < r \le n$）被称为多边形区间，当且仅当满足以下条件：

• $r-l+1 \geq 3$；
• 将 $a_l, a_{l+1}, \ldots, a_r$ 作为边长时，这些边可以组成一个有 $r-l+1$ 条边的多边形。

现在有 $q$ 个操作，操作有两种类型：

• “1 l r”：在所有满足 $l \le l_0 \le r_0 \le r$ 的多边形区间 $[l_0, r_0]$ 中，求最长的区间长度。如果不存在这样的多边形区间，输出 $-1$；
• “2 i x”：将 $a_i$ 赋值为 $x$。

第一行包含一个整数 $t$（$1 \leq t \leq 10^4$），表示测试用例的数量。

对于每个测试用例：

• 每个测试用例的第一行包含两个整数 $n$ 和 $q$（$4 \le n \le 2 \cdot 10^5$，$1 \le q \le 10^5$）；
• 第二行包含 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\ldots, a_n$（$1 \le a_i \le 10^{12}$）；
• 接下来的 $q$ 行，每行描述一个操作，格式如下：
  • “1 l r” （$1 \le l < r \le n$，$r-l+1\ge 3$）；
  • “2 i x” （$1 \le i \le n$，$1 \le x \le 10^{12}$）。

保证所有测试用例中 $n$ 的总和不超过 $2 \cdot 10^5$，$q$ 的总和不超过 $10^5$。

对于每个查询，如果不存在满足条件的区间，输出 $-1$，否则输出满足条件的最长区间的长度，每个结果占一行。

在第一个测试用例的第一个查询中，没有满足条件的多边形区间。例如，考虑区间 $[1,3]$，无法用边长 $a_1=3$、$a_2=1$、$a_3=2$ 组成三角形。

在第一个测试用例的第二个查询中，最长的多边形区间是 $[1,4]$。你可以用边长 $a_1=3$、$a_2=1$、$a_3=2$、$a_4=2$ 组成一个四边形。

这是一个边长为 $3$、$1$、$2$、$2$ 的四边形示意图。

由 ChatGPT 4.1 翻译