CF1942G.Bessie and Cards

Bessie 最近开始玩一款著名的卡牌游戏。在这款游戏中，只有一副牌，包括 $a$ 张“抽 $0$ 张”卡，$b$ 张“抽 $1$ 张”卡，$c$ 张“抽 $2$ 张”卡，以及 $5$ 张特殊卡。游戏开始时，所有卡牌都会被随机洗牌。

Bessie 在游戏开始时会从牌堆顶端抽取前 $5$ 张牌。然后，她可以从手牌中打出“抽 $x$ 张”卡，从牌堆顶继续抽取接下来的 $x$ 张牌。注意，每张卡只能被使用一次，特殊卡不能被打出。如果 Bessie 使用“抽 $2$ 张”卡时，牌堆中只剩下 $1$ 张牌，那么她只能抽取剩下的那 $1$ 张牌。如果 Bessie 能抽到全部 $5$ 张特殊卡，则她获胜。

由于 Bessie 不太擅长数学问题，她希望你帮她计算获胜的概率。假设牌堆是从所有 $ (a + b + c + 5)! $ 种可能的排列中等概率随机选取的。可以证明，答案总能表示为一个既约分数 $ \frac{p}{q} $，其中 $p$ 和 $q$ 互质。请输出 $p \cdot q^{-1} \bmod 998\,244\,353$。

第一行包含一个整数 $t$（$1 \le t \le 10^4$），表示测试用例的数量。

每个测试用例包含三个整数 $a$、$b$ 和 $c$（$0 \le a, b, c \le 2 \times 10^5$），分别表示“抽 $0$ 张”卡、“抽 $1$ 张”卡和“抽 $2$ 张”卡的数量。

保证所有测试用例中 $a$ 的总和不超过 $2 \times 10^5$，$b$ 的总和不超过 $2 \times 10^5$，$c$ 的总和不超过 $2 \times 10^5$。

对于每个测试用例，输出一个整数，表示 Bessie 获胜的概率，模 $998\,244\,353$。

在第一个样例中，有 $1$ 张每种类型的“抽”卡和 $5$ 张特殊卡。共有 $30\,720$ 种起始牌堆能让 Bessie 获胜（即抽到全部 $5$ 张特殊卡），而总的起始牌堆排列数为 $40\,320$。因此，Bessie 获胜的概率为 $ \frac{30,720}{40,320} = \frac{16}{21} $。

一个获胜的起始牌堆示例（从上到下）：

1. “特殊卡”
2. “抽 $1$ 张”
3. “特殊卡”
4. “特殊卡”
5. “抽 $0$ 张”
6. “抽 $2$ 张”
7. “特殊卡”
8. “特殊卡”

一个失败的起始牌堆示例：

1. “特殊卡”
2. “抽 $1$ 张”
3. “特殊卡”
4. “特殊卡”
5. “抽 $0$ 张”
6. “特殊卡”
7. “特殊卡”
8. “抽 $2$ 张”

由 ChatGPT 4.1 翻译