AT_xmascon23_b.Beautiful Rotation

给定整数 $A,B,C,D,E,F,G,H,I$。三维直角坐标系中的平行六面体 $P$（其内部与边界所有点的集合），以如下 $8$ 个点为顶点：

• $(0, 0, 0)$
• $(A, B, C)$
• $(D, E, F)$
• $(A+D, B+E, C+F)$
• $(G, H, I)$
• $(A+G, B+H, C+I)$
• $(D+G, E+H, F+I)$
• $(A+D+G, B+E+H, C+F+I)$

求将 $P$ 随机旋转后，其“高度”的期望值。

“随机旋转”指如下步骤：

1. 在单位球面上按面积从均匀分布中选择一点 $u$。
2. 设 $v = (1,0,0) \times u$（叉乘）。由于 $v = (0,0,0)$ 的概率为 $0$，故可不考虑这种情况。
3. 以原点和 $v$ 所连直线为旋转轴，将点 $(1,0,0)$ 旋转至 $u$。
4. 以原点和 $u$ 所连直线为旋转轴，再随机旋转 $[0, 2\pi)$ 之间的角度。

点集 $Q$ 的“高度”定义为 $Z = \{z \mid \exists x, \exists y,\,(x,y,z) \in Q\}$ 时，$\max(Z) - \min(Z)$。

输入为一行，包含如下 $9$ 个整数：

$A \quad B \quad C \quad D \quad E \quad F \quad G \quad H \quad I$

输出旋转后的平行六面体高度的期望值（小数）。只要你的答案与正确答案的绝对误差或相对误差不超过 $10^{-9}$，即可接受。

样例解释 1

若各边长均为 $1$ 的立方体随机旋转时，“高度”的期望值是 $1.5$。

数据范围

• $-10^3 \le A,B,C,D,E,F,G,H,I \le 10^3$。
• $\det \begin{bmatrix} A & B & C \\ D & E & F \\ G & H & I \end{bmatrix} \ne 0$。

由 ChatGPT 5 翻译