AT_past20_k.良いグリッド

考虑一个 $4\times 4$ 的网格，每个格子中写有一个数字。记 $(i,j)$ 表示第 $i$ 行（从上到下）、第 $j$ 列（从左到右）的格子，$a_{i,j}$ 表示写在该格子上的数字。若同时满足以下两个条件，则称该网格为“优良网格”：

• 每一行的数字从左到右严格递增。即对于所有 $i,j\ (1\leq i\leq N, 1\leq j< N)$，有 $a_{i,j} < a_{i,j+1}$。
• 每一列的数字从上到下严格递增。即对于所有 $i,j\ (1\leq i< N, 1\leq j\leq N)$，有 $a_{i,j} < a_{i+1,j}$。

现在给定每个格子的整数 $A_{i,j}$，其中 $1\leq i,j\leq 4$。求优良网格的方案数，结果对 $998244353$ 取模，要求：

• 每个格子中写有的数字是 $1$ 到 $M$ 的整数（闭区间）。
• 对于 $1\leq i,j\leq 4$，若 $A_{i,j}\neq -1$，则第 $(i,j)$ 个格子内必须填写 $A_{i,j}$。

输入由标准输入给出，格式如下：

$M$ $A_{1,1}$ $A_{1,2}$ $A_{1,3}$ $A_{1,4}$ $A_{2,1}$ $A_{2,2}$ $A_{2,3}$ $A_{2,4}$ $A_{3,1}$ $A_{3,2}$ $A_{3,3}$ $A_{3,4}$ $A_{4,1}$ $A_{4,2}$ $A_{4,3}$ $A_{4,4}$

输出一个整数，表示满足条件的优良网格个数，对 $998244353$ 取模。

样例解释 1

有两个方案满足条件：

1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 7
4 5 8 9

1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 6 7
4 5 8 9

样例解释 3

请确保输出方案数对 $998244353$ 取模。

数据范围

• $1\leq M \leq 30$
• $A_{i,j}=-1$ 或 $1\leq A_{i,j}\leq M$。
• 所有输入均为整数。

由 ChatGPT 5 翻译