AT_past19_g.結合律

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给定一个 $N \times N$ 的矩阵 $A$ ，第 $i$ 行第 $j$ 列的元素记作 $A(i,j)$ 。矩阵 $A$ 中恰好有一个元素为 $0$ ，其余的 $(N^2-1)$ 个元素均为 $1$ 到 $N$ 之间的整数。

请问有多少种方式可以将 $A$ 中唯一的 $0$ 替换为 $1$ 到 $N$ 之间的某个整数，要求替换后的 $A$ 满足以下条件：

从标准输入读入，格式如下：

$N$
$A(1,1)\ A(1,2)\ \dots\ A(1,N)$
$A(2,1)\ A(2,2)\ \dots\ A(2,N)$
$\vdots$
$A(N,1)\ A(N,2)\ \dots\ A(N,N)$

输出一个整数，表示方案数。

输入#3

6
4 5 5 2 4 2
5 2 2 4 5 4
5 2 0 4 5 4
2 4 4 5 2 5
4 5 5 2 4 2
2 4 4 5 2 5

输出#3

因为 $A(2,2)$ 是 $0$ ，我们需要考虑分别用 $1$ 到 $3$ 替换 $A(2,2)$ 的情况。

如果将 $A(2,2)$ 替换成 $1$ ：不满足条件。对于 $(i,j,k)=(2,2,3)$ ，有 $A(A(i,j),k)=3$ ，而 $A(i,A(j,k))=2$ 。
如果将 $A(2,2)$ 替换成 $2$ ：不满足条件。对于 $(i,j,k)=(3,3,2)$ ，有 $A(A(i,j),k)=2$ ，而 $A(i,A(j,k))=3$ 。
如果将 $A(2,2)$ 替换成 $3$ ：满足条件，对所有 $1\leq i,j,k\leq 3$ ，都有 $A(A(i,j),k)=A(i,A(j,k))$ 。

因此答案为 $1$ 。

由 ChatGPT 5 翻译

输入解题思路，AI测评打分。不知道怎么写?