AT_nupc2024_i.Eat and Build

河狸梅代君打算用木头建造 $K$ 栋房子。梅代君有以下两种行动选择：

• 行动 $1$：用 $1$ 根木头建造 $1$ 栋房子。梅代君的体力减少 $1$。
• 行动 $2$：吃掉 $1$ 根木头。梅代君的体力增加 $1$。

一开始，梅代君的体力为 $H$。当梅代君的体力为 $h$ 时，他以 $\frac{h}{H}$ 的概率选择行动 $1$，以 $\frac{H-h}{H}$ 的概率选择行动 $2$。当他建造了 $K$ 栋房子时，就会停止行动。此外，假设木头数量无限，并且在建造足够的房子之前不会停止行动。

请计算在建造 $K$ 栋房子前，梅代君通过行动 $1$ 和行动 $2$ 总共消耗的木头数的期望值，并将其作为有理数以 $\bmod~998244353$ 的形式输出。

此外，本题保证期望值一定为有理数。在本题的约束下，设期望值可表示为互质的整数 $P, Q$，即 $P / Q$，则一定存在唯一的整数 $R$ 使得 $R \times Q \equiv P \pmod{998244353}$ 且 $0 \leq R < 998244353$。请输出这个 $R$。

输入从标准输入按下述格式给出：

$H$ $K$

输出结果。

样例解释 1

一开始，梅代君的体力为 $2$。此时，他以概率 $\frac{2}{2}=1$ 选择建造房子。随后体力变为 $1$。接下来他有两种情况：

1. 以 $\frac{1}{2}$ 的概率选择行动 $1$，即建造第二栋房子，此时体力变为 $0$。
2. 以 $\frac{2-1}{2}=\frac{1}{2}$ 的概率选择行动 $2$，即吃掉木头，体力回到 $2$。

对于第 $1$ 种情况，总共建造了 $2$ 栋房子，因此结束。对于第 $2$ 种情况，接下来再次以概率 $1$ 选择建造房子，结束。

因此，当建造 $2$ 栋房子时，有 $\frac{2}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ 的概率消耗 $2$ 根木头，有 $\frac{2}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{2} = \frac{1}{2}$ 的概率消耗 $3$ 根木头。因此，在建造 $2$ 栋房子前消耗木头数的期望值为 $2 \times \frac{1}{2} + 3 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$，由于 $499122179 \times 2 \equiv 5 \pmod{998244353}$，所以答案为 $499122179$。

数据范围

• $1 \leq H \leq 3 \times 10^3$
• $1 \leq K \leq 3 \times 10^3$
• 输入的数均为整数。

由 ChatGPT 5 翻译