AT_kupc2024_b.Brindled Torus

请你构造一个满足以下所有条件的长方形网格。如果不存在这样的长方形网格，请报告此事。

• 网格的格子总数在 $1$ 到 $2 \times 10^5$ 之间。
• 网格的每一个格子要么被涂成白色，要么被涂成黑色。
• 在整个网格中，白色格子的数量与黑色格子的数量之比为 $A:B$。
• 对于网格中的每一个格子，至少存在一个相邻格子，其颜色与该格子不同。

这里网格的行数为 $H$，列数为 $W$，从上往下的第 $i+1$ 行、从左往右的第 $j+1$ 列的格子记作 $(i, j)$。

对于 $(i, j)$ 的相邻格子，指的是以下至多 $4$ 个格子：$((i-1)\bmod H, j)$、$((i+1)\bmod H, j)$、$(i, (j-1)\bmod W)$、$(i, (j+1)\bmod W)$。

给定 $T$ 个测试用例，请分别回答每个用例。

输入按以下格式从标准输入读入。

$T$
$case_1$
$case_2$
$\vdots$
$case_T$

每个测试用例 $case_i$ $(1 \le i \le T)$ 按以下格式给出。

$A$ $B$

请按以下格式输出到标准输出。

$out_1$
$out_2$
$\vdots$
$out_T$

对于每个测试用例 $case_i$，输出 $out_i$ $(1 \le i \le T)$。

如果存在满足条件的长方形网格，请输出以下格式。如果不存在则输出 -1。

$H$ $W$
$c_{0,0}$ $c_{0,1}$ $\cdots$ $c_{0,W-1}$
$c_{1,0}$ $c_{1,1}$ $\cdots$ $c_{1,W-1}$
$\vdots$
$c_{H-1,0}$ $c_{H-1,1}$ $\cdots$ $c_{H-1,W-1}$

$H$ 表示网格的行数，$W$ 表示网格的列数，且需满足 $1 \le H \times W \le 2 \times 10^5$。$c_{i, j}$ 表示 $(i, j)$ 处的颜色，若被涂成白色则为英文点号 .，黑色则为英文符号 @。

样例说明 1

对于第 $1$ 个测试用例，白格有 $4$ 个，黑格有 $8$ 个，$4:8 = 1:2$。对于黑色格子来说，其相邻的格子中至少有一个为白色，对于白色格子来说，其相邻的格子中至少有一个为黑色，因此满足题目条件。除此之外，也有其他正确答案。

对于第 $3$ 个测试用例，不存在所有格子都为黑色且满足相邻不同色的长方形网格。

数据范围

• 所有输入均为整数
• $1 \le T \le 10$
• $0 \le A \le 1000$
• $0 \le B \le 1000$
• $A + B > 0$
• $\gcd(A, B) = 1$

由 ChatGPT 5 翻译