AT_keyence2019_d.Double Landscape

在一个 $N$ 行 $M$ 列的网格中，考虑将 $1$ 到 $N \times M$ 的整数，每个数恰好写一次，填入网格中。高桥君觉得普通地填写没有趣味，于是决定按照以下条件填写数字：

• 第 $i$ 行中填写的数的最大值为 $A_i$，其中 $1 \leq i \leq N$。
• 第 $j$ 列中填写的数的最大值为 $B_j$，其中 $1 \leq j \leq M$。

请你帮高桥君计算，满足上述条件的填写方法有多少种。答案对 $10^9 + 7$ 取模。

输入通过标准输入给出，格式如下：

$N$ $M$ $A_1$ $A_2$ $\ldots$ $A_N$ $B_1$ $B_2$ $\ldots$ $B_M$

输出满足条件的填写方法数，对 $10^9 + 7$ 取模。

限制条件

• $1 \leq N \leq 1000$
• $1 \leq M \leq 1000$
• $1 \leq A_i \leq N \times M$
• $1 \leq B_j \leq N \times M$
• $A_i, B_j$ 均为整数

样例解释 1

$(A_1, A_2) = (4, 3)$，$(B_1, B_2) = (3, 4)$，此时有以下 $2$ 种填写方法：

• 第 $1$ 行第 $1$ 列填写 $1$，第 $1$ 行第 $2$ 列填写 $4$，第 $2$ 行第 $1$ 列填写 $3$，第 $2$ 行第 $2$ 列填写 $2$。
• 第 $1$ 行第 $1$ 列填写 $2$，第 $1$ 行第 $2$ 列填写 $4$，第 $2$ 行第 $1$ 列填写 $3$，第 $2$ 行第 $2$ 列填写 $1$。

样例解释 2

无论如何填写，都无法满足条件，因此输出 $0$。

由 ChatGPT 4.1 翻译