AT_KeioPC2025_k.Loaded Dice

けむにく君想用 $N$ 个失真的骰子来复现一个公平的 $K$ 面骰子。

请计算满足以下条件的有理数构成的 $N$ 行 $K$ 列矩阵 $P = (P_{i,j})_{0 \le i < N,\ 0 \le j < K}$ 的个数，并对 $998244353$ 取模后输出。

• 对所有 $(i,j)$，有 $0 \le P_{i,j} \le 1$。
• 对所有 $i$，有 $\sum_{j=0}^{K-1} P_{i,j} = 1$。
• 对所有满足 $0 \le S < K$ 的整数 $S$，有

  $$\sum_{\substack{0 \le j_0, j_1, \dots, j_{N-1} < K \\[0.5mm] j_0 + j_1 + \dots + j_{N-1} = S}} \prod_{0 \le i < N} P_{i,j_i} = \frac{1}{K}$$

输入为一行，包括两个整数：

$N$ $K$

输出答案。

样例解释 1

$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$ 满足条件。

数据范围

• $1 \le N \le 2 \times 10^5$
• $1 \le K \le 2 \times 10^5$
• 输入均为整数。

由 ChatGPT 5 翻译