「JOI 2014/2015 决赛」分蛋糕 2

译自 JOI 2014/2015 决赛 T2「ケーキの切り分け２」

JOI 君和 IOI 酱是双胞胎兄妹。 JOI 君最近闲暇时常常会做甜点。今天 JOI 君也烤了蛋糕吃，IOI 酱立马嗅到了蛋糕的香气于是跑来想分着吃。
蛋糕是圆形的，从蛋糕中某点开始将蛋糕放射状切为 $ N $ 块，按逆时针顺序编号为 $ 1 $ 到 $ N $ 。也就是说，对任意 $ i $ 来说 $ (1 \leq i \leq N) $ ，第 $ i $ 块蛋糕紧挨着第 $ i-1 $ 块与第 $ i+1 $ 块（不过第 $ 0 $ 块相当于第 $ N $ 块，第 $ N+1 $ 块相当于第 $ 1 $ 块）。第 $ i $ 块蛋糕的大小为 $ A_i $ 。由于切蛋糕的人刀功很不好，所以 $ A_i $ 互不相同。

JOI 君和 IOI 酱按照以下的方法分这 $N$ 块蛋糕：

1. 首先 JOI 君从这 $ N $ 块蛋糕中任选一块取走；
2. 然后，从 IOI 酱开始， IOI 酱和 JOI 君交替地从剩下的蛋糕中选出一块取走。不过，当且仅当一块蛋糕两旁的蛋糕至少有一块已经被选择，这块蛋糕才能被选择。如果可供选择的蛋糕有多个， IOI 酱会选择最大的一个，而 JOI 君可以任选一个。

JOI 君想让自己所得到的蛋糕大小的合计值最大。

任务

给出蛋糕的块数 $ N $ 和这 $ N $ 块蛋糕的大小。请编写程序求出 JOI 君得到的蛋糕大小的总和的最大值。

第一行为整数 $ N $ ，表示蛋糕被切成了 $ N $ 块；
接下来 $ N $ 行中的第 $ i $ 行 $ (1 \leq i \leq N) $ 为一个整数 $ A_i $ 。表示第 $ i $ 块蛋糕的大小。

输出一行： JOI 君得到的蛋糕大小的总和的最大值。

样例

输入样例 1

5
2
8
1
10
9

输出样例 1

18

JOI 君依次进行以下操作时为最优解：

1. JOI 君选择第 $ 2 $ 块蛋糕，这块蛋糕的大小为 $ 8 $；
2. IOI 酱选择第 $ 1 $ 块蛋糕，这块蛋糕的大小为 $ 2 $；
3. JOI 君选择第 $ 5 $ 块蛋糕，这块蛋糕的大小为 $ 9 $；
4. IOI 酱选择第 $ 4 $ 块蛋糕，这块蛋糕的大小为 $ 10 $；
5. JOI 君选择第 $ 3 $ 块蛋糕，这块蛋糕的大小为 $ 1 $；

最后 JOI 君得到的蛋糕的大小的总和为 $ 8+9+1=18 $。

输入样例 2

8
1
10
4
5
6
2
9
3

输出样例 2

26

输入样例 3

15
182243672
10074562
977552215
122668426
685444213
3784162
463324752
560071245
134465220
21447865
654556327
183481051
20041805
405079805
564327789

输出样例 3

3600242976

对于 $ 15% $ 的分值：

• $ N \leq 20 $

对于另 $45\%$ 的分值：

• $ N \leq 300 $

对于 $100\%$ 的分值，所有输入数据满足以下条件：

• $ 1 \leq N \leq 2000 $；
• $ 1 \leq A_i \leq 10^9 $；
• 每个 $ A_i $ 都不同。

感谢@ミク 提供的翻译