AT_hhkb2020_f.Random Max

有 $N$ 个连续型随机变量 $x_i$（$1 \leq i \leq N$），每个 $x_i$ 服从区间 $[L_i, R_i]$ 上的连续均匀分布（即 $x_i$ 是一个在 $L_i$ 到 $R_i$ 之间的实数，且取每个值的概率相等的随机变量）。

在本题的约束条件下，设这 $N$ 个随机变量的最大值的期望为 $E$，则 $E \times (N+1)! \times \prod_{i=1}^N (R_i - L_i)$ 是一个正整数。请你求出这个值对 $1,000,000,007$ 取模的结果。

输入通过标准输入给出，格式如下：

$N$ $L_1$ $R_1$ $:$ $L_N$ $R_N$

输出 $E \times (N+1)! \times \prod_{i=1}^N (R_i - L_i)$ 对 $1,000,000,007$ 取模的结果，输出一个整数。

限制条件

• $1 \leq N \leq 1000$
• $0 \leq L_i < R_i \leq 10^9$
• 输入均为整数

样例解释 1

这些随机变量的最大值的期望等于其可能取值范围的中值，即 $E = \frac{3}{2}$。因此，$E \times (N+1)! \times (R_1 - L_1) = E \times 2 = 3$，答案为 $3$。

样例解释 2

所求的期望值为 $E = \frac{5}{3}$。

由 ChatGPT 4.1 翻译