AT_ddcc2018_qual_d.チップ・ストーリー　～黄金編～

高桥君养的狗 BISCO 在迪斯科株式会社工作了 29 年，终于迎来了退休的时刻。由于他对公司做出了巨大贡献，社长 WISCO 赠送了他一枚“黄金正方形芯片”。

这枚芯片中存有一个秘密整数 $N$，BISCO 只知道 $N$ 是一个 $1$ 到 $10^{12}$ 之间的整数。
然而，只有社长才能看到这个整数 $N$ 的实际值。

即便如此，BISCO 还是很想知道这个秘密整数。于是社长 WISCO 给出了如下提示：

• $a_2,\ a_3,\ a_4,\ \ldots,\ a_{30}$ 共 $29$ 个值。
• 其中，$a_i$ 表示“将整数 $N$ 用 $i$ 进制表示时，各位数字之和”。

例如，$N = 1123$ 时，将 $N$ 用 $4$ 进制表示为 101203，所以 $a_4 = 1 + 0 + 1 + 2 + 0 + 3 = 7$。

请你根据提示，帮 BISCO 猜出秘密整数 $N$。
如果存在多个可能的秘密整数，输出其中任意一个即可；如果不存在这样的整数，则输出 invalid。

输入从标准输入读入，格式如下：

$a_2$ $a_3$ $a_4$ $\ldots$ $a_{30}$

请输出一个可能的秘密整数 $N\ (\leq 10^{12})$。如果不存在这样的整数，则输出 invalid。

限制条件

• $a_2,\ a_3,\ a_4,\ \ldots,\ a_{30}$ 均为 $1$ 到 $500$ 之间的整数。

样例解释 1

$N = 25$ 是一个可能的秘密整数。

• 将 $25$ 用 $2$ 进制表示为 11001，各位数字之和为 $3$，等于 $a_2$。
• 将 $25$ 用 $3$ 进制表示为 221，各位数字之和为 $5$，等于 $a_3$。
  对于 $a_4$ 到 $a_{30}$ 也同样满足这一性质。

样例解释 2

注意 $a_2 = 500$。用 $2$ 进制表示时各位数字之和为 $500$ 的最小正整数是 $2^{500} - 1$，这远远超过了秘密整数 $N$ 的上限 $10^{12}$。因此，不存在可能的秘密整数。

样例解释 3

$201811232111$ 是一个可能的秘密整数。

样例解释 4

请注意秘密整数 $N$ 必须不超过 $10^{12}$。（如果没有这个条件，$1000000000001$ 也是一个可能的秘密整数。）

由 ChatGPT 4.1 翻译