AT_arc173_f.[ARC173F] Select and Split

黑板上写有一个由正整数组成的集合。最初，黑板上写有集合 $S=\lbrace 1,2,\dots,A,A+1,A+2,\dots,A+B\rbrace$。

高桥君希望通过以下操作 $N-1$ 次，将黑板上的集合变为 $N$ 个：

• 从黑板上写着的整数集合中，选择一个集合 $S_0$，该集合中 $A$ 以下和 $A+1$ 及以上的元素各至少有一个。从 $S_0$ 中分别选出一个 $A$ 以下的元素 $a$ 和一个 $A+1$ 及以上的元素 $b$。将 $S_0$ 从黑板上擦去，任意选择两个满足以下条件的集合 $S_1,S_2$ 写到黑板上：
  • $S_1,S_2$ 的并集为 $S_0$，且两者没有公共元素；
  • $a\in S_1,\ b\in S_2$。

请计算所有可能的一系列操作的方案数，答案对 $998244353$ 取模。

注意，如果存在某个 $i\ (1\leq i\leq N-1)$，第 $i$ 次操作所选择的 $S_0,a,b,S_1,S_2$ 中有任意一个不同，则认为这两组操作方案是不同的。

输入为一行，包含三个整数：

$N\ A\ B$

输出答案。

限制条件

• $2\leq N\leq 2\times 10^5$
• $1\leq A,B\leq 2\times 10^5$
• $N\leq A+B$
• 所有输入均为整数

样例解释 1

一种操作方案如下：

• 选择 $S_0=\lbrace 1,2,3,4,5,6\rbrace$，$a=2,b=5$，分成 $S_1=\lbrace 1,2,3,6\rbrace,\ S_2=\lbrace 4,5\rbrace$。此时黑板上有 $\lbrace 1,2,3,6\rbrace,\lbrace 4,5\rbrace$ 两个集合。
• 选择 $S_0=\lbrace 1,2,3,6\rbrace$，$a=1,b=3$，分成 $S_1=\lbrace 1,2\rbrace,\ S_2=\lbrace 3,6\rbrace$。此时黑板上有 $\lbrace 1,2\rbrace,\lbrace 3,6\rbrace,\lbrace 4,5\rbrace$ 三个集合。

样例解释 2

如果第一次操作选择 $a=1,b=2$，分成 $S_1=\lbrace 1\rbrace,S_2=\lbrace 2,3,4\rbrace$，则后续无法完成 $N-1$ 次操作。像这样未能完成 $N-1$ 次操作的方案不计入答案。

由 ChatGPT 4.1 翻译