AT_arc162_f.[ARC162F] Montage

给定正整数 $N,\ M$。所有元素均为 $0$ 或 $1$ 的 $N$ 行 $M$ 列矩阵 $A$ 一共有 $2^{NM}$ 个。请计算其中满足以下条件的矩阵个数，并对 $998244353$ 取模。

• 对于所有满足 $1 \leq a < c \leq N$ 且 $1 \leq b < d \leq M$ 的整数组 $(a,\ b,\ c,\ d)$，都有 $A_{a,\ b} \times A_{c,\ d} \leq A_{a,\ d} \times A_{c,\ b}$。

输入包含一行：

$N$ $M$

输出一个整数，表示满足条件的矩阵个数对 $998244353$ 取模的结果。

限制

• $1 \leq N,\ M \leq 400$
• 输入的数均为整数

样例解释 1

条件为 $A_{1,1} \times A_{2,2} \leq A_{1,2} \times A_{2,1}$。除去 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ 这 $3$ 个外，其余 $13$ 个都满足条件。

样例解释 2

所有 $2^{NM}$ 个矩阵都满足条件，因此输出 $2^{30}$ 对 $998244353$ 取模的结果 $75497471$。

由 ChatGPT 4.1 翻译