AT_arc114_e.[ARC114E] Paper Cutting 2

有一张被划分为 $H \times W$ 个格子的矩形纸，其中恰好有 $2$ 个格子被涂成黑色，其余部分为白色。用 $(i, j)$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的格子，黑色格子分别位于 $(h_1, w_1)$ 和 $(h_2, w_2)$。

maroon 君将对这张纸反复进行如下操作：

• 当前纸张为 $h \times w$ 的格子时，沿着格子边界且与纸张边平行的直线可以画出 $(h-1)$ 条横线和 $(w-1)$ 条竖线。从这些直线中等概率随机选择一条，并沿该直线将纸张切成两张。此时，
  • 如果两个黑色格子仍在同一张纸上，则丢弃另一张纸，继续操作；
  • 否则，操作结束。

请你求出 maroon 君在操作结束前切纸的次数的期望值，并对 $998244353$ 取模输出。

输入为一行，包含六个整数：

$H$ $W$ $h_1$ $w_1$ $h_2$ $w_2$

输出一个整数，表示 maroon 君在操作结束前切纸的次数的期望值对 $998244353$ 取模的结果。

注释

可以证明，所求的期望值一定是有理数。在本题的约束下，将其表示为最简分数 $\frac{P}{Q}$ 时，$Q \not\equiv 0 \pmod{998244353}$ 也成立。因此，存在唯一的整数 $R$ 满足 $R \times Q \equiv P \pmod{998244353},\ 0 \leq R < 998244353$。请输出该 $R$。

约束条件

• $1 \leq H, W \leq 10^5$
• $H \times W \geq 2$
• $1 \leq h_1, h_2 \leq H$
• $1 \leq w_1, w_2 \leq W$
• $(h_1, w_1) \neq (h_2, w_2)$
• 所有输入均为整数

样例解释 1

第一次切割时，有 $2/3$ 的概率操作结束。剩下的 $1/3$ 情况下，第二次切割操作才会结束。因此，切纸次数的期望值为 $1 \times 2/3 + 2 \times 1/3 = 4/3$。

样例解释 3

操作一定会在第一次切割时结束。

由 ChatGPT 4.1 翻译