AT_abc439_g.[ABC439G] Sugoroku 6

新年快乐！说到新年在室内玩的游戏，那就是双六（sugoroku）了！

有一个由 $N+1$ 个方格组成的双六棋盘：格子 $0$，格子 $1$，$\dots$，格子 $N$。
有一个 $M$ 面骰子，每一面能等概率掷出一个正整数 $A_1, A_2, \dots, A_M$。这里 $A_1, A_2, \dots, A_M$ 各不相同。
$1$ 号玩家、$2$ 号玩家、$\dots$、$L$ 号玩家将用这个棋盘进行游戏。游戏的进行方式如下：

• 开始时，将 $L$ 个棋子（第 $1$ 个棋子、第 $2$ 个棋子、$\dots$、第 $L$ 个棋子）放在格子 $0$ 上。
• 按照编号顺序轮流行动，从 $1$ 号玩家开始。严格来说，每当第 $i$ 个人行动完，轮到第 $(i\bmod L)+1$ 个人。每名玩家的回合操作如下：
  • 设当前轮到的是 $i$ 号玩家。掷一次骰子。设当前 $i$ 号棋子的所在位置为 $x$，这次掷到的点数为 $y$，则将 $i$ 号棋子移动到格子 $\min(N, x+y)$。
• 首先将自己编号的棋子移动到格子 $N$ 的玩家获胜，其余玩家失败。

对于 $i=1,2,\dots,L$，求第 $i$ 号玩家获胜的概率，答案需要对 $998244353$ 取模。

什么是概率 $\bmod$ $998244353$？可以证明，本题所求概率必然是有理数。并且在本题范围下，这个概率若用互质的两个整数 $P, Q$ 表示$\frac{P}{Q}$，则一定存在唯一的 $0 \leq R < 998244353$ 使得 $R \times Q \equiv P \pmod{998244353}$。请输出这个 $R$。

输入采用如下格式从标准输入读入：

$N$ $M$ $L$ $A_1$ $A_2$ $\dots$ $A_M$

输出共 $L$ 行。第 $i$ 行输出第 $i$ 号玩家的获胜概率对 $998244353$ 取模后的结果。

样例解释 1

第 $1$ 号玩家以概率 $\frac{5}{8}$ 获胜，第 $2$ 号玩家以概率 $\frac{1}{4}$ 获胜，第 $3$ 号玩家以概率 $\frac{1}{8}$ 获胜。

数据范围

• $1 \leq N \leq 2.5 \times 10^5$
• $1 \leq M \leq N$
• $2 \leq L \leq 2.5 \times 10^5$
• $1 \leq A_1 < A_2 < \dots < A_M \leq N$
• 所有输入均为整数。

由 ChatGPT 5 翻译