AT_abc426_e.[ABC426E] Closest Moment

Takahashi 和 Aoki 在一个二维平面上行走。

Takahashi 的起点为 $ (TS_X, TS_Y) $，终点为 $ (TG_X, TG_Y) $。Aoki 的起点为 $ (AS_X, AS_Y) $，终点为 $ (AG_X, AG_Y) $。

他们同时从各自的起点出发，以速度 $ 1 $ 沿直线朝各自的终点移动，并在到达终点时停下（注意，他们同时出发，但不一定同时到达终点停下）。

请你求出二者在他们之间的距离最短的时刻（包括刚出发时和到达终点后）时的距离。

此处距离为欧几里得距离。即，两点 $ (x_1,y_1),(x_2,y_2) $ 之间的距离定义为 $ \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)2} $。

你需要解答 $ T $ 组测试用例。

输入从标准输入给出，格式如下：

$ T $ $ \text{case}_1 $ $ \text{case}_2 $ $ \vdots $ $ \text{case}_T $

其中 $ \text{case}_i $ 表示第 $ i $ 组测试用例。每组测试用例如下：

$ TS_X $ $ TS_Y $ $ TG_X $ $ TG_Y $ $ AS_X $ $ AS_Y $ $ AG_X $ $ AG_Y $

输出 $ T $ 行，第 $ i $ 行（$ 1\leq i\leq T $）为第 $ i $ 组测试用例的答案。

你的答案若与真值的绝对误差或相对误差不超过 $ 10^{-6} $，则被视为正确。

样例说明 1

对于第一组测试用例，把时间 $ 0 $ 设为他们出发的时刻，二者的行为如下：

• 时间 $ 0 $：Takahashi 从 $ (0,0) $ 出发，沿直线朝 $ (-2,2) $ 以速度 $ 1 $ 前进。与此同时，Aoki 从 $ (-1,-1) $ 出发，向 $ (4,4) $ 以速度 $ 1 $ 前进。
• 时间 $ 2\sqrt{2} $：Takahashi 到达终点 $ (-2,2) $ 并停下。这时，Aoki 位于 $ (1,1) $，仍在移动。
• 时间 $ 5\sqrt{2} $：Aoki 到达终点 $ (4,4) $ 并停下。

二者的距离在时间 $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ 时达到最小，此时 Takahashi 和 Aoki 分别位于 $ (-\frac{1}{2},\frac{1}{2}) $ 和 $ (-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}) $，距离为 $ 1 $。

对于第二组测试用例，二者距离在刚出发时即已最小，此时的距离为 $ 2 $。

对于第三组测试用例，二者距离在二人都停下后最小，此时距离为 $ 0 $。

数据范围

• $ 1\leq T\leq 2\times 10^5 $
• $ -100\leq TS_X,TS_Y,TG_X,TG_Y,AS_X,AS_Y,AG_X,AG_Y \leq 100 $
• $ (TS_X,TS_Y)\neq (TG_X,TG_Y) $
• $ (AS_X,AS_Y)\neq (AG_X,AG_Y) $
• 所有输入值均为整数。

由 ChatGPT 5 翻译