AT_abc319_c.[ABC319C] False Hope

在一个 $3\times3$ 的格子中，写有 $1$ 到 $9$ 的数字。第 $i$ 行第 $j$ 列（$1\leq i\leq3,1\leq j\leq3$）写的数字为 $c_{i,j}$。

不同的格子中可能写有相同的数字，但不会有同一个数字在任意一行、任意一列或任意一条对角线上连续出现 $3$ 次。更严格地说，$c_{i,j}$ 满足以下所有条件：

• 对于任意 $1\leq i\leq3$，有 $c_{i,1}=c_{i,2}=c_{i,3}$ 不成立。
• 对于任意 $1\leq j\leq3$，有 $c_{1,j}=c_{2,j}=c_{3,j}$ 不成立。
• $c_{1,1}=c_{2,2}=c_{3,3}$ 不成立。
• $c_{3,1}=c_{2,2}=c_{1,3}$ 不成立。

高桥君会以随机顺序依次得知每个格子里的数字。如果在任意一行、列或对角线上，出现了如下情况，则高桥君会感到“失望”：

• 先知道的两个格子的数字相同，最后知道的那个格子的数字与前两个不同。

请计算高桥君在没有感到失望的情况下，得知所有格子数字的概率。

输入为一行，包含如下内容：

$c_{1,1}$ $c_{1,2}$ $c_{1,3}$ $c_{2,1}$ $c_{2,2}$ $c_{2,3}$ $c_{3,1}$ $c_{3,2}$ $c_{3,3}$

请输出高桥君没有感到失望地得知所有格子数字的概率。若与真实值的绝对误差不超过 $10^{-8}$，则视为正确。

限制条件

• $c_{i,j}\in\lbrace1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace\ (1\leq i\leq3,1\leq j\leq3)$
• 对于任意 $1\leq i\leq3$，$c_{i,1}=c_{i,2}=c_{i,3}$ 不成立
• 对于任意 $1\leq j\leq3$，$c_{1,j}=c_{2,j}=c_{3,j}$ 不成立
• $c_{1,1}=c_{2,2}=c_{3,3}$ 不成立
• $c_{1,3}=c_{2,2}=c_{3,1}$ 不成立

样例解释 1

例如，如果高桥君按 $c_{3,1}=2,c_{2,1}=2,c_{1,1}=3$ 的顺序得知数字，则他会感到失望。
如下图所示：

而如果高桥君按 $c_{1,1},c_{1,2},c_{1,3},c_{2,1},c_{2,2},c_{2,3},c_{3,1},c_{3,2},c_{3,3}$ 的顺序得知数字，则不会感到失望。
高桥君不会感到失望地得知所有数字的概率为 $\dfrac{2}{3}$。
由于只要绝对误差不超过 $10^{-8}$ 即可判定为正确，因此输出 $0.666666657$ 或 $0.666666676$ 也是正确的。

由 ChatGPT 4.1 翻译