AT_abc193_d.[ABC193D] Poker

有 $K$ 张写有 $1, 2, \dots, 9$ 的卡牌，每种数字各 $K$ 张，共 $9K$ 张卡牌。
这些卡牌被随机洗牌后，分别发给高桥君和青木君各 $4$ 张明牌和 $1$ 张暗牌。
高桥君手中的卡牌以字符串 $S$ 给出，青木君手中的卡牌以字符串 $T$ 给出。
$S$ 和 $T$ 均为 $5$ 个字符的字符串，前 $4$ 个字符为 1、2、$\dots$、9 中的一个，表示明牌上的数字。最后 $1$ 个字符为 #，表示暗牌。
每个人手牌的得分定义为：设 $c_i$ 表示手牌中数字 $i$ 出现的次数，则得分为 $\displaystyle\sum_{i=1}^9 i \times 10^{c_i}$。
如果高桥君的得分高于青木君，则高桥君获胜。
请计算高桥君获胜的概率。

输入通过标准输入给出，格式如下：

$K$ $S$ $T$

请输出高桥君获胜的概率，结果为小数。
当你的答案与标准答案的绝对误差或相对误差不超过 $10^{-5}$ 时，将被判定为正确。

限制条件

• $2 \leq K \leq 10^5$
• $|S| = |T| = 5$
• $S$ 和 $T$ 的第 $1$ 到第 $4$ 个字符为 1、2、$\dots$、9 中的一个
• 1、2、$\dots$、9 在 $S$ 和 $T$ 中合计最多出现 $K$ 次
• $S$ 和 $T$ 的第 $5$ 个字符为 #

样例解释 1

例如，高桥君的手牌为 11449，青木君的手牌为 22338 时，高桥君的得分为 $100+2+3+400+5+6+7+8+90=621$，青木君的得分为 $1+200+300+4+5+6+7+80+9=612$，因此高桥君获胜。由于胜负取决于暗牌的大小，高桥君获胜的概率为 $\frac{4}{9}$。

样例解释 3

只有当高桥君的手牌为 11222，青木君的手牌为 22281 时，高桥君才会获胜。此时高桥君获胜的概率为 $\frac{2}{1035}$。

由 ChatGPT 4.1 翻译