CF1439B.Graph Subset Problem

You are given an undirected graph with $n$ vertices and $m$ edges. Also, you are given an integer $k$.

Find either a clique of size $k$ or a non-empty subset of vertices such that each vertex of this subset has at least $k$ neighbors in the subset. If there are no such cliques and subsets report about it.

A subset of vertices is called a clique of size $k$ if its size is $k$ and there exists an edge between every two vertices from the subset. A vertex is called a neighbor of the other vertex if there exists an edge between them.

给你一个包含 $n$ 个顶点和 $m$ 条边的无向图，以及一个整数 $k$。

请找出以下二者之一：

• 一个大小为 $k$ 的团（clique），或
• 一个非空的顶点子集，使得该子集中的每个顶点在该子集中至少有 $k$ 个邻居。
  如果既不存在这样的团，也不存在这样的子集，则报告该情况。

若一个顶点子集的大小为 $k$，且其中任意两个顶点之间均存在一条边，则称该子集为一个大小为 $k$ 的团。若两个顶点之间存在一条边，则称它们互为邻居。

The first line contains a single integer $t$ ($1 \leq t \leq 10^5$) — the number of test cases. The next lines contain descriptions of test cases.

The first line of the description of each test case contains three integers $n$, $m$, $k$ ($1 \leq n, m, k \leq 10^5$, $k \leq n$).

Each of the next $m$ lines contains two integers $u, v$ $(1 \leq u, v \leq n, u \neq v)$, denoting an edge between vertices $u$ and $v$.

It is guaranteed that there are no self-loops or multiple edges. It is guaranteed that the sum of $n$ for all test cases and the sum of $m$ for all test cases does not exceed $2 \cdot 10^5$.

第一行包含一个整数 $t$（$1 \leq t \leq 10^5$），表示测试用例的数量。接下来的若干行包含各测试用例的描述。

每个测试用例的描述的第一行包含三个整数 $n$、$m$、$k$（$1 \leq n, m, k \leq 10^5$，且 $k \leq n$）。

接下来的 $m$ 行中，每行包含两个整数 $u$、$v$（$1 \leq u, v \leq n$，且 $u \neq v$），表示顶点 $u$ 与顶点 $v$ 之间存在一条边。

保证图中不存在自环或重边。同时保证所有测试用例的 $n$ 之和以及所有测试用例的 $m$ 之和均不超过 $2 \cdot 10^5$。

For each test case:

If you found a subset of vertices such that each vertex of this subset has at least $k$ neighbors in the subset in the first line output $1$ and the size of the subset. On the second line output the vertices of the subset in any order.

If you found a clique of size $k$ then in the first line output $2$ and in the second line output the vertices of the clique in any order.

If there are no required subsets and cliques print $-1$.

If there exists multiple possible answers you can print any of them.

对于每个测试用例：

• 若你找到了一个顶点子集，使得该子集中的每个顶点在该子集中至少有 $k$ 个邻居，则在第一行输出 $1$ 和该子集的大小；在第二行以任意顺序输出该子集中的所有顶点。

• 若你找到了一个大小为 $k$ 的团（clique），则在第一行输出 $2$，在第二行以任意顺序输出该团中的所有顶点。

• 若不存在满足要求的子集或团，则输出 $-1$。

若存在多个可能的答案，输出其中任意一个即可。

In the first test case: the subset ${1, 2, 3, 4}$ is a clique of size $4$.

In the second test case: degree of each vertex in the original graph is at least $3$. So the set of all vertices is a correct answer.

In the third test case: there are no cliques of size $4$ or required subsets, so the answer is $-1$.

在第一个测试用例中：子集 $\{1, 2, 3, 4\}$ 是一个大小为 $4$ 的团（clique）。

在第二个测试用例中：原图中每个顶点的度数至少为 $3$。因此，所有顶点构成的集合即为正确答案。

在第三个测试用例中：不存在大小为 $4$ 的团，也不存在满足要求的子集，因此答案为 $-1$。