CF1383D.Rearrange

Koa the Koala has a matrix $A$ of $n$ rows and $m$ columns. Elements of this matrix are distinct integers from $1$ to $n \cdot m$ (each number from $1$ to $n \cdot m$ appears exactly once in the matrix).

For any matrix $M$ of $n$ rows and $m$ columns let's define the following:

• The $i$-th row of $M$ is defined as $R_i(M) = [ M_{i1}, M_{i2}, \ldots, M_{im} ]$ for all $i$ ($1 \le i \le n$).
• The $j$-th column of $M$ is defined as $C_j(M) = [ M_{1j}, M_{2j}, \ldots, M_{nj} ]$ for all $j$ ($1 \le j \le m$).

Koa defines $S(A) = (X, Y)$ as the spectrum of $A$, where $X$ is the set of the maximum values in rows of $A$ and $Y$ is the set of the maximum values in columns of $A$.

More formally:

• $X = { \max(R_1(A)), \max(R_2(A)), \ldots, \max(R_n(A)) }$
• $Y = { \max(C_1(A)), \max(C_2(A)), \ldots, \max(C_m(A)) }$

Koa asks you to find some matrix $A'$ of $n$ rows and $m$ columns, such that each number from $1$ to $n \cdot m$ appears exactly once in the matrix, and the following conditions hold:

• $S(A') = S(A)$
• $R_i(A')$ is bitonic for all $i$ ($1 \le i \le n$)
• $C_j(A')$ is bitonic for all $j$ ($1 \le j \le m$)

An array $t$ ($t_1, t_2, \ldots, t_k$) is called bitonic if it first increases and then decreases.

More formally: $t$ is bitonic if there exists some position $p$ ($1 \le p \le k$) such that: $t_1 \lt t_2 \lt \ldots \lt t_p \gt t_{p+1} \gt \ldots \gt t_k$.

Help Koa to find such matrix or to determine that it doesn't exist.

考拉熊 Koa 有一个 $n$ 行 $m$ 列的矩阵 $A$。该矩阵的元素是 $1$ 到 $n \cdot m$ 之间的互不相同的整数（即 $1$ 到 $n \cdot m$ 中的每个整数在矩阵中恰好出现一次）。

对于任意一个 $n$ 行 $m$ 列的矩阵 $M$，我们定义如下：

• $M$ 的第 $i$ 行定义为 $R_i(M) = [ M_{i1}, M_{i2}, \ldots, M_{im} ]$，其中 $i$ 满足 $1 \le i \le n$；
• $M$ 的第 $j$ 列定义为 $C_j(M) = [ M_{1j}, M_{2j}, \ldots, M_{nj} ]$，其中 $j$ 满足 $1 \le j \le m$。

Koa 将 $A$ 的谱（spectrum）定义为 $S(A) = (X, Y)$，其中 $X$ 是矩阵 $A$ 各行最大值构成的集合，$Y$ 是矩阵 $A$ 各列最大值构成的集合。

更形式化地：

• $X = \{ \max(R_1(A)), \max(R_2(A)), \ldots, \max(R_n(A)) \}$
• $Y = \{ \max(C_1(A)), \max(C_2(A)), \ldots, \max(C_m(A)) \}$

Koa 请求你构造一个 $n$ 行 $m$ 列的矩阵 $A'$，使得 $1$ 到 $n \cdot m$ 中的每个整数在 $A'$ 中恰好出现一次，并满足以下条件：

• $S(A') = S(A)$；
• 对所有 $i$（$1 \le i \le n$），$R_i(A')$ 是双调数组（bitonic）；
• 对所有 $j$（$1 \le j \le m$），$C_j(A')$ 是双调数组（bitonic）。

一个数组 $t = (t_1, t_2, \ldots, t_k)$ 被称为双调数组，如果它先严格递增、再严格递减。

更形式化地：$t$ 是双调数组，当且仅当存在某个位置 $p$（$1 \le p \le k$），使得

$$t_1 < t_2 < \ldots < t_p > t_{p+1} > \ldots > t_k.$$

请帮助 Koa 找到满足上述条件的矩阵 $A'$，或判定这样的矩阵不存在。

The first line of the input contains two integers $n$ and $m$ ($1 \le n, m \le 250$) — the number of rows and columns of $A$.

Each of the ollowing $n$ lines contains $m$ integers. The $j$-th integer in the $i$-th line denotes element $A_{ij}$ ($1 \le A_{ij} \le n \cdot m$) of matrix $A$. It is guaranteed that every number from $1$ to $n \cdot m$ appears exactly once among elements of the matrix.

输入的第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$（$1 \le n, m \le 250$）—— 分别表示矩阵 $A$ 的行数和列数。

接下来的 $n$ 行，每行包含 $m$ 个整数。第 $i$ 行中的第 $j$ 个整数表示矩阵 $A$ 的元素 $A_{ij}$（$1 \le A_{ij} \le n \cdot m$）。保证矩阵中恰好出现一次从 $1$ 到 $n \cdot m$ 的每个整数。

If such matrix doesn't exist, print $-1$ on a single line.

Otherwise, the output must consist of $n$ lines, each one consisting of $m$ space separated integers — a description of $A'$.

The $j$-th number in the $i$-th line represents the element $A'_{ij}$.

Every integer from $1$ to $n \cdot m$ should appear exactly once in $A'$, every row and column in $A'$ must be bitonic and $S(A) = S(A')$ must hold.

If there are many answers print any.

如果这样的矩阵不存在，则在单独一行中输出 $-1$。

否则，输出必须包含 $n$ 行，每行包含 $m$ 个以空格分隔的整数——即矩阵 $A'$ 的描述。

第 $i$ 行中的第 $j$ 个数表示元素 $A'_{ij}$。

$1$ 到 $n \cdot m$ 中的每个整数在 $A'$ 中必须恰好出现一次；$A'$ 的每一行和每一列都必须是双调的（bitonic），且需满足 $S(A) = S(A')$。

若存在多个解，输出任意一个即可。

Let's analyze the first sample:

For matrix $A$ we have:

• Rows:

  • $R_1(A) = [3, 5, 6]; \max(R_1(A)) = 6$
  • $R_2(A) = [1, 7, 9]; \max(R_2(A)) = 9$
  • $R_3(A) = [4, 8, 2]; \max(R_3(A)) = 8$

• Columns:

  • $C_1(A) = [3, 1, 4]; \max(C_1(A)) = 4$
  • $C_2(A) = [5, 7, 8]; \max(C_2(A)) = 8$
  • $C_3(A) = [6, 9, 2]; \max(C_3(A)) = 9$

• $X = { \max(R_1(A)), \max(R_2(A)), \max(R_3(A)) } = { 6, 9, 8 }$

• $Y = { \max(C_1(A)), \max(C_2(A)), \max(C_3(A)) } = { 4, 8, 9 }$

• So $S(A) = (X, Y) = ({ 6, 9, 8 }, { 4, 8, 9 })$

For matrix $A'$ we have:

• Rows:

  • $R_1(A') = [9, 5, 1]; \max(R_1(A')) = 9$
  • $R_2(A') = [7, 8, 2]; \max(R_2(A')) = 8$
  • $R_3(A') = [3, 6, 4]; \max(R_3(A')) = 6$

• Columns:

  • $C_1(A') = [9, 7, 3]; \max(C_1(A')) = 9$
  • $C_2(A') = [5, 8, 6]; \max(C_2(A')) = 8$
  • $C_3(A') = [1, 2, 4]; \max(C_3(A')) = 4$

• Note that each of this arrays are bitonic.

• $X = { \max(R_1(A')), \max(R_2(A')), \max(R_3(A')) } = { 9, 8, 6 }$

• $Y = { \max(C_1(A')), \max(C_2(A')), \max(C_3(A')) } = { 9, 8, 4 }$

• So $S(A') = (X, Y) = ({ 9, 8, 6 }, { 9, 8, 4 })$

我们来分析第一个样例：

对于矩阵 $A$，有：

• 行：

  • $R_1(A) = [3, 5, 6]; \max(R_1(A)) = 6$
  • $R_2(A) = [1, 7, 9]; \max(R_2(A)) = 9$
  • $R_3(A) = [4, 8, 2]; \max(R_3(A)) = 8$

• 列：

  • $C_1(A) = [3, 1, 4]; \max(C_1(A)) = 4$
  • $C_2(A) = [5, 7, 8]; \max(C_2(A)) = 8$
  • $C_3(A) = [6, 9, 2]; \max(C_3(A)) = 9$

• $X = { \max(R_1(A)), \max(R_2(A)), \max(R_3(A)) } = { 6, 9, 8 }$

• $Y = { \max(C_1(A)), \max(C_2(A)), \max(C_3(A)) } = { 4, 8, 9 }$

• 因此 $S(A) = (X, Y) = ({ 6, 9, 8 }, { 4, 8, 9 })$

对于矩阵 $A'$，有：

• 行：

  • $R_1(A') = [9, 5, 1]; \max(R_1(A')) = 9$
  • $R_2(A') = [7, 8, 2]; \max(R_2(A')) = 8$
  • $R_3(A') = [3, 6, 4]; \max(R_3(A')) = 6$

• 列：

  • $C_1(A') = [9, 7, 3]; \max(C_1(A')) = 9$
  • $C_2(A') = [5, 8, 6]; \max(C_2(A')) = 8$
  • $C_3(A') = [1, 2, 4]; \max(C_3(A')) = 4$

• 注意：每个这样的数组都是双调的（bitonic）。

• $X = { \max(R_1(A')), \max(R_2(A')), \max(R_3(A')) } = { 9, 8, 6 }$

• $Y = { \max(C_1(A')), \max(C_2(A')), \max(C_3(A')) } = { 9, 8, 4 }$

• 因此 $S(A') = (X, Y) = ({ 9, 8, 6 }, { 9, 8, 4 })$