CF1178G.The Awesomest Vertex

You are given a rooted tree on $n$ vertices. The vertices are numbered from $1$ to $n$; the root is the vertex number $1$.

Each vertex has two integers associated with it: $a_i$ and $b_i$. We denote the set of all ancestors of $v$ (including $v$ itself) by $R(v)$. The awesomeness of a vertex $v$ is defined as

$$\\left| \\sum\_{w \\in R(v)} a\_w\\right| \\cdot \\left|\\sum\_{w \\in R(v)} b\_w\\right|,$$

where $|x|$ denotes the absolute value of $x$.

Process $q$ queries of one of the following forms:

• 1 v x — increase $a_v$ by a positive integer $x$.
• 2 v — report the maximum awesomeness in the subtree of vertex $v$.

给你一棵有 $n$ 个顶点的有根树。顶点编号为 $1$ 到 $n$；根节点为顶点 $1$。

每个顶点 $i$ 关联两个整数：$a_i$ 和 $b_i$。记 $v$ 的所有祖先（包括 $v$ 自身）构成的集合为 $R(v)$。顶点 $v$ 的“卓越值”（awesomeness）定义为：

$$\left| \sum_{w \in R(v)} a_w\right| \cdot \left|\sum_{w \in R(v)} b_w\right|,$$

其中 $|x|$ 表示 $x$ 的绝对值。

你需要处理 $q$ 个查询，查询类型如下：

• 1 v x — 将 $a_v$ 增加一个正整数 $x$；
• 2 v — 输出顶点 $v$ 的子树中所有顶点的最大卓越值。

The first line contains two integers $n$ and $q$ ($1 \leq n \leq 2\cdot 10^5, 1 \leq q \leq 10^5$) — the number of vertices in the tree and the number of queries, respectively.

The second line contains $n - 1$ integers $p_2, p_3, \dots, p_n$ ($1 \leq p_i \lt i$), where $p_i$ means that there is an edge between vertices $i$ and $p_i$.

The third line contains $n$ integers $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($-5000 \leq a_i \leq 5000$), the initial values of $a_i$ for each vertex.

The fourth line contains $n$ integers $b_1, b_2, \dots, b_n$ ($-5000 \leq b_i \leq 5000$), the values of $b_i$ for each vertex.

Each of the next $q$ lines describes a query. It has one of the following forms:

• 1 v x  ($1 \leq v \leq n$, $1\leq x \leq 5000$).
• 2 v  ($1 \leq v \leq n$).

第一行包含两个整数 $n$ 和 $q$（$1 \leq n \leq 2\cdot 10^5$，$1 \leq q \leq 10^5$）—— 分别表示树中顶点的数量和查询的数量。

第二行包含 $n - 1$ 个整数 $p_2, p_3, \dots, p_n$（$1 \leq p_i \lt i$），其中 $p_i$ 表示顶点 $i$ 与顶点 $p_i$ 之间存在一条边。

第三行包含 $n$ 个整数 $a_1, a_2, \dots, a_n$（$-5000 \leq a_i \leq 5000$），表示每个顶点的初始值 $a_i$。

第四行包含 $n$ 个整数 $b_1, b_2, \dots, b_n$（$-5000 \leq b_i \leq 5000$），表示每个顶点的值 $b_i$。

接下来的 $q$ 行每行描述一个查询，其格式为以下两种之一：

• 1 v x（$1 \leq v \leq n$，$1\leq x \leq 5000$）。
• 2 v（$1 \leq v \leq n$）。

For each query of the second type, print a single line with the maximum awesomeness in the respective subtree.

对于每个第二类查询，输出一行，包含对应子树中的最大“惊艳度”。

The initial awesomeness of the vertices is $[100, 91, 57, 64, 57]$. The most awesome vertex in the subtree of vertex $1$ (the first query) is $1$, and the most awesome vertex in the subtree of vertex $2$ (the second query) is $2$.

After the first update (the third query), the awesomeness changes to $[100, 169, 57, 160, 57]$ and thus the most awesome vertex in the whole tree (the fourth query) is now $2$.

After the second update (the fifth query), the awesomeness becomes $[100, 234, 57, 240, 152]$, hence the most awesome vertex (the sixth query) is now $4$.

顶点的初始“酷炫值”为 $[100, 91, 57, 64, 57]$。在顶点 $1$ 的子树中（第一个查询），最酷炫的顶点是 $1$；在顶点 $2$ 的子树中（第二个查询），最酷炫的顶点是 $2$。

第一次更新后（第三个查询），酷炫值变为 $[100, 169, 57, 160, 57]$，因此整棵树中最酷炫的顶点（第四个查询）现在是 $2$。

第二次更新后（第五个查询），酷炫值变为 $[100, 234, 57, 240, 152]$，因此最酷炫的顶点（第六个查询）现在是 $4$。