CF1930G.Prefix Max Set Counting

Define a function $f$ such that for an array $b$, $f(b)$ returns the array of prefix maxima of $b$. In other words, $f(b)$ is an array containing only those elements $b_i$, for which $b_i=\max(b_1,b_2,\ldots,b_i)$, without changing their order. For example, $f([3,10,4,10,15,1])=[3,10,10,15]$.

You are given a tree consisting of $n$ nodes rooted at $1$.

A permutation$^\dagger$ $p$ of is considered a pre-order of the tree if for all $i$ the following condition holds:

• Let $k$ be the number of proper descendants$^\ddagger$ of node $p_i$.
• For all $x$ such that $i \lt x \leq i+k$, $p_x$ is a proper descendant of node $p_i$.

Find the number of distinct values of $f(a)$ over all possible pre-orders $a$. Since this value might be large, you only need to find it modulo $998\,244\,353$.

$^\dagger$ A permutation of length $n$ is an array consisting of $n$ distinct integers from $1$ to $n$ in arbitrary order. For example, $[2,3,1,5,4]$ is a permutation, but $[1,2,2]$ is not a permutation ($2$ appears twice in the array), and $[1,3,4]$ is also not a permutation ($n=3$ but there is $4$ in the array).

$^\ddagger$ Node $t$ is a proper descendant of node $s$ if $s \neq t$ and $s$ is on the unique simple path from $t$ to $1$.

定义函数 $f$，使得对于数组 $b$，$f(b)$ 返回 $b$ 的前缀最大值数组。换言之，$f(b)$ 是一个仅包含满足 $b_i = \max(b_1, b_2, \ldots, b_i)$ 的元素 $b_i$ 的数组，且保持这些元素在原数组中的相对顺序不变。例如，$f([3,10,4,10,15,1]) = [3,10,10,15]$。

给定一棵由 $n$ 个节点构成的树，根节点为 $1$。

若排列$^\dagger$ $p$ 满足对所有 $i$ 下列条件，则称其为该树的一个先序遍历序列（pre-order）：

• 设 $k$ 为节点 $p_i$ 的真后代节点数$^\ddagger$；
• 对所有满足 $i < x \leq i + k$ 的 $x$，$p_x$ 均为节点 $p_i$ 的真后代节点。

求在所有可能的先序遍历序列 $a$ 上，$f(a)$ 的不同取值个数。由于该数值可能很大，你只需输出其对 $998\,244\,353$ 取模的结果。

$^\dagger$ 长度为 $n$ 的排列是指由 $1$ 到 $n$ 中 $n$ 个互不相同的整数按任意顺序组成的数组。例如，$[2,3,1,5,4]$ 是一个排列，而 $[1,2,2]$ 不是排列（数字 $2$ 出现了两次），$[1,3,4]$ 也不是排列（此时 $n = 3$，但数组中出现了 $4$）。

$^\ddagger$ 若 $s \neq t$，且 $s$ 位于从 $t$ 到根节点 $1$ 的唯一简单路径上，则称节点 $t$ 是节点 $s$ 的真后代节点。

Each test contains multiple test cases. The first line contains a single integer $t$ ($1 \leq t \leq 10^5$) — the number of test cases. The description of the test cases follows.

The first line of each test case contains a single integer $n$ ($1 \leq n \leq 10^6$) — the number of vertices.

The following next $n-1$ lines contain two integers $u$ and $v$ ($1 \leq u, v \leq n$, $u \neq v$) — denoting an edge between nodes $u$ and $v$. It is guaranteed that the given edges form a tree.

It is guaranteed that the sum of $n$ over all test cases does not exceed $10^6$.

每个测试包含多个测试用例。第一行包含一个整数 $t$（$1 \leq t \leq 10^5$）—— 测试用例的数量。随后是各测试用例的描述。

每个测试用例的第一行包含一个整数 $n$（$1 \leq n \leq 10^6$）—— 顶点的数量。

接下来的 $n-1$ 行每行包含两个整数 $u$ 和 $v$（$1 \leq u, v \leq n$，且 $u \neq v$）—— 表示节点 $u$ 与节点 $v$ 之间存在一条边。保证所给边构成一棵树。

保证所有测试用例中 $n$ 的总和不超过 $10^6$。

For each test case, output the number of distinct values of $f(a)$ modulo $998\,244\,353$ that you can get.

对于每个测试用例，输出你能得到的 $f(a)$ 对 $998\,244\,353$ 取模后的不同值的个数。

In the first test case, the only valid pre-order is $a=[1]$. So the only possible value of $f(a)$ is $[1]$.

In the second test case, the only valid pre-order is $a=[1,2]$. So the only possible value $f(a)$ is $[1,2]$.

In the third test case, the two valid pre-orders are $a=[1,2,3]$ and $a=[1,3,2]$. So the possible values of $f(a)$ are $[1,2,3]$ and $[1,3]$.

In the fifth test case, the possible values of $f(a)$ are:

• $[1,5]$;
• $[1,2,5]$;
• $[1,3,5]$;
• $[1,4,5]$;
• $[1,2,3,5]$;
• $[1,2,4,5]$;
• $[1,3,4,5]$;
• $[1,2,3,4,5]$.

在第一个测试用例中，唯一有效的前序遍历为 $a=[1]$。因此 $f(a)$ 的唯一可能取值为 $[1]$。

在第二个测试用例中，唯一有效的前序遍历为 $a=[1,2]$。因此 $f(a)$ 的唯一可能取值为 $[1,2]$。

在第三个测试用例中，两个有效的前序遍历为 $a=[1,2,3]$ 和 $a=[1,3,2]$。因此 $f(a)$ 的可能取值为 $[1,2,3]$ 和 $[1,3]$。

在第五个测试用例中，$f(a)$ 的可能取值为：

• $[1,5]$；
• $[1,2,5]$；
• $[1,3,5]$；
• $[1,4,5]$；
• $[1,2,3,5]$；
• $[1,2,4,5]$；
• $[1,3,4,5]$；
• $[1,2,3,4,5]$。