A106059.[GESP202603 八级] 子图最短路

给定包含 $n$ 个结点 $m$ 条边的带权无向图 $G$，结点依次以 $1, 2, \dots, n$ 编号。第 $i$ ($1 \le i \le m$) 条边连接编号为 $u_i$ 与 $v_i$ 的两个结点，权值为 $w_i$。

对于指定的 $1 \le \ell \le r \le n$，按以下方式构造图 $G$ 的子图 $G(\ell, r)$：

• 保留 $G$ 中编号在区间 $[\ell, r]$ 中的结点。删去其它编号不在 $[\ell, r]$ 中的结点以及与之相连的边。剩余的结点和边构成子图 $G(\ell, r)$。

对于 $G(\ell, r)$ 中的任意结点 $u, v$ 应有 $\ell \le u, v \le r$。记 $u, v$ 在子图 $G(\ell, r)$ 上的最短距离为 $d(\ell, r, u, v)$。特殊地，若 $u, v$ 在子图 $G(\ell, r)$ 上不连通，则认为 $d(\ell, r, u, v) = 0$。

你需要求出 $\sum_{\ell=1}^{n} \sum_{r=\ell}^{n} \sum_{u=\ell}^{r} \sum_{v=u}^{r} d(\ell, r, u, v)$ 对 $10^9$ 取模的结果。

• 题目中的英文字母 $l$ 使用了特殊写法 $\ell$，以避免英文字母 $l$ 与数字 $1$ 混淆。

第一行，两个正整数 $n, m$，表示结点数与边数。

接下来 $m$ 行，第 $i$ ($1 \le i \le m$) 行包含三个正整数 $u_i, v_i, w_i$，表示一条连接结点 $u_i, v_i$ 的权值为 $w_i$ 的边。

输出一行，一个整数，表示 $\sum_{\ell=1}^{n} \sum_{r=\ell}^{n} \sum_{u=\ell}^{r} \sum_{v=u}^{r} d(\ell, r, u, v)$ 对 $10^9$ 取模的结果。

对于所有测试点，保证 $2 \le n \le 100$，$2 \le m \le \frac{n(n-1)}{2}$，$1 \le u_i, v_i \le n$，$1 \le w_i \le 10^6$。图中可能存在重边。