本人来随便讲点微积分 其实是乱翻《漫话数学》
一 . 圆锥
圆锥切成片，每片的半径是 r(x)r(x)r(x) ，根据三角形相似定理，可以得到
r(x)x=RHr(x)=RHx\frac{r(x)}{x}=\frac RH\\r(x)=\frac RHxxr(x) =HR r(x)=HR x
带入 V=∫0Hπ[r(x)2]dxV=\int\limits^H_0\pi[r(x)^2]dxV=0∫H π[r(x)2]dx
V=∫0Hπ[R2H2x2]dx=πR2H2∫0Hx2dx=πR2H2⋅H33=πR2H3V=\int\limits^H_0\pi[\frac{R^2}{H^2}x^2]dx=\pi\frac{R^2}{H^2}\int\limits^H_0x^2dx=\pi\frac{R^2}{H^2}\cdot\frac{H^3}{3}=\pi\frac{R^2H}{3}V=0∫H π[H2R2 x2]dx=πH2R2 0∫H x2dx=πH2R2 ⋅3H3 =π3R2H
二 . 球
一个半径为 rrr 的球，从中间切开，得到一个半圆，方程是：
x2+y2=r2x^2+y^2=r^2x2+y2=r2
用这个半圆在 xxx 轴上绕一圈，那么
V=∫−rrπ(r2−x2)dx=π43r3V=\int\limits^r_{-r}\pi(r^2-x^2)dx=\pi\frac{4}{3}r^3V=−r∫r π(r2−x2)dx=π34 r3
三 . 拟柱体公式
其实，无论是什么，都可以用一个公式概括，它就是：
V=h6(S下+4S中+S上)V=\frac h6(S_下+4S_中+S_上)V=6h (S下 +4S中 +S上 )
拟柱体公式为何那么厉害？
其实，在积分学中，有这样一条法则，只要 f(x)f(x)f(x) 是 ax3+bx2+cx+d(a可以为0)ax^3+bx^2+cx+d(a可以为0)ax3+bx2+cx+d(a可以为0) ，那么：
∫abf(x)dx=b−a6[f(a)+4f(a+b2)+f(b)](1)\int_{a}^{b}f(x)\mathop{dx}=\frac{b-a}6[f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)]\tag1 ∫ab f(x)dx=6b−a [f(a)+4f(2a+b )+f(b)](1)
如果a=0，b=h，那么就有了公式
圆柱，f(x)=S，是“0次多项式”
圆锥，f(x)是二次多项式
球，也是二次多项式
至于 (1)(1)(1) 式是否正确，你可以验算一下
∫ab=αf(a)+βf(a+b2)+γf(b)\int^b_a=\alpha f(a)+\beta f(\frac{a+b}2)+\gamma f(b)∫ab =αf(a)+βf(2a+b )+γf(b)
f(x)=1：b−a=α+β+γf(x)=1：b-a=\alpha+\beta+\gammaf(x)=1：b−a=α+β+γ
f(x)=x：b2−a22=αa+βa+b2+γbf(x)=x：\frac{b^2-a^2}{2}=\alpha a+\beta \frac{a+b}2+\gamma bf(x)=x：2b2−a2 =αa+β2a+b +γb
f(x)=x2：b3−a33=αa2+β(a+b2)2+γb2f(x)=x^2：\frac{b^3-a^3}3=\frac\alpha a^2+\beta(\frac{a+b}{2})^2+\gamma b^2f(x)=x2：3b3−a3 =aα 2+β(2a+b )2+γb2
解三元一次方程组，得到：
α=γ=b−a6,β=b−a6×4\alpha=\gamma=\frac{b-a}{6},\beta=\frac{b-a}{6}\times4α=γ=6b−a ,β=6b−a ×4
至于三次为什么成立，我就不讲了。
