1. 基本概念
定义
因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式。
要点
* 结果必须是乘积形式
* 每个因式必须是整式
* 分解要彻底（不能再分解为止）
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2. 因式分解方法
2.1 提公因式法
方法：找出多项式各项的公因式，提到括号外面。
公式：ma+mb+mc=m(a+b+c)ma + mb + mc = m(a + b + c)ma+mb+mc=m(a+b+c)
公因式的确定：
1. 系数：取各项系数的最大公约数
2. 字母：取各项都含有的相同字母
3. 指数：取相同字母的最低次幂
例题：
6x2y−9xy2+3xy6x^2y - 9xy^2 + 3xy6x2y−9xy2+3xy
=3xy(2x−3y+1)= 3xy(2x - 3y + 1)=3xy(2x−3y+1)
2.2 公式法
利用乘法公式的逆运算进行分解。
平方差公式
a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)a2−b2=(a+b)(a−b)
例题：
x2−9x^2 - 9x2−9
=x2−32= x^2 - 3^2=x2−32
=(x+3)(x−3)= (x + 3)(x - 3)=(x+3)(x−3)
完全平方公式
a2+2ab+b2=(a+b)2a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2a2+2ab+b2=(a+b)2
a2−2ab+b2=(a−b)2a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2a2−2ab+b2=(a−b)2
例题：
x2+6x+9x^2 + 6x + 9x2+6x+9
=x2+2⋅x⋅3+32= x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2=x2+2⋅x⋅3+32
=(x+3)2= (x + 3)^2=(x+3)2
立方和与立方差公式
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
例题：
8x3−278x^3 - 278x3−27
=(2x)3−33= (2x)^3 - 3^3=(2x)3−33
=(2x−3)(4x2+6x+9)= (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)=(2x−3)(4x2+6x+9)
2.3 分组分解法
适用于四项或四项以上的多项式。
方法：
1. 分组：合理分组，使每组能分解或因式分解
2. 组内分解：对各组分别分解
3. 整体提取：各组之间有公因式时提取
两种常用分组方式：
1. 二二分组：am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)am + an + bm + bn = a(m+n) + b(m+n) = (m+n)(a+b)am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)
2. 三一分组：用于二次六项式或类似结构
例题：
ax+ay+bx+byax + ay + bx + byax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)= a(x+y) + b(x+y)=a(x+y)+b(x+y)
=(x+y)(a+b)= (x+y)(a+b)=(x+y)(a+b)
2.4 十字相乘法
主要用于二次三项式：ax2+bx+cax^2 + bx + cax2+bx+c
方法：
将aaa分解为a1a2a_1a_2a1 a2 ，ccc分解为c1c2c_1c_2c1 c2 ，使得：
a1c2+a2c1=ba_1c_2 + a_2c_1 = ba1 c2 +a2 c1 =b
图解：
结果：(a1x+c1)(a2x+c2)(a_1x + c_1)(a_2x + c_2)(a1 x+c1 )(a2 x+c2 )
例题：
分解 2x2+7x+32x^2 + 7x + 32x2+7x+3
解：
a=2=1×2a = 2 = 1 \times 2a=2=1×2，c=3=1×3c = 3 = 1 \times 3c=3=1×3
检验：1×3+2×1=3+2=51 \times 3 + 2 \times 1 = 3 + 2 = 51×3+2×1=3+2=5 ✗
重新：c=3=3×1c = 3 = 3 \times 1c=3=3×1
检验：1×1+2×3=1+6=71 \times 1 + 2 \times 3 = 1 + 6 = 71×1+2×3=1+6=7 ✓
所以：2x2+7x+3=(x+3)(2x+1)2x^2 + 7x + 3 = (x + 3)(2x + 1)2x2+7x+3=(x+3)(2x+1)
2.5 拆项添项法
当多项式无法直接分解时，可以尝试拆开一项或添加两项再减去两项。
例题：
分解 x4+4x^4 + 4x4+4
解：
x4+4x^4 + 4x4+4
=x4+4x2+4−4x2= x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2=x4+4x2+4−4x2 （添加4x24x^24x2再减去4x24x^24x2）
=(x4+4x2+4)−4x2= (x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2=(x4+4x2+4)−4x2
=(x2+2)2−(2x)2= (x^2 + 2)^2 - (2x)^2=(x2+2)2−(2x)2
=(x2+2+2x)(x2+2−2x)= (x^2 + 2 + 2x)(x^2 + 2 - 2x)=(x2+2+2x)(x2+2−2x)
=(x2+2x+2)(x2−2x+2)= (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)=(x2+2x+2)(x2−2x+2)
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3. 重要公式和定理
3.1 常用公式总结
1. a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)a2−b2=(a+b)(a−b)
2. a2+2ab+b2=(a+b)2a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2a2+2ab+b2=(a+b)2
3. a2−2ab+b2=(a−b)2a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2a2−2ab+b2=(a−b)2
4. a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
5. a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
6. a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3
7. a3−3a2b+3ab2−b3=(a−b)3a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)^3a3−3a2b+3ab2−b3=(a−b)3
3.2 因式定理
定理：多项式f(x)f(x)f(x)有一个因式(x−a)(x-a)(x−a)的充要条件是f(a)=0f(a)=0f(a)=0
应用：当多项式次数较高时，可以通过试根法寻找因式
例题：
分解 x3−3x+2x^3 - 3x + 2x3−3x+2
解：令f(x)=x3−3x+2f(x) = x^3 - 3x + 2f(x)=x3−3x+2
f(1)=1−3+2=0f(1) = 1 - 3 + 2 = 0f(1)=1−3+2=0，所以有因式(x−1)(x-1)(x−1)
用多项式除法：(x3−3x+2)÷(x−1)=x2+x−2(x^3 - 3x + 2) \div (x-1) = x^2 + x - 2(x3−3x+2)÷(x−1)=x2+x−2
=(x−1)(x2+x−2)= (x-1)(x^2 + x - 2)=(x−1)(x2+x−2)
=(x−1)(x+2)(x−1)= (x-1)(x+2)(x-1)=(x−1)(x+2)(x−1)
=(x−1)2(x+2)= (x-1)^2(x+2)=(x−1)2(x+2)
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4. 分式分解
4.1 分式分解的基本步骤
分式分解通常指将有理分式分解为部分分式之和，但在初中阶段，更常见的是对分母进行因式分解以便通分或化简。
基本思路：
1. 对分母进行因式分解
2. 确定最简公分母
3. 通分计算
WC,™的我是个傻福，没编完没存档取开洛谷了所以又打了一边手废
4.2 例题解析
例题1：分母因式分解
化简：x2−1x2−2x+1\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}x2−2x+1x2−1
解：
x2−1x2−2x+1\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}x2−2x+1x2−1
=(x+1)(x−1)(x−1)2= \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}=(x−1)2(x+1)(x−1)
=x+1x−1= \frac{x+1}{x-1}=x−1x+1 （x≠1x \neq 1x=1）
例题2：分式加减
计算：1x2−1+1x+1\frac{1}{x^2 - 1} + \frac{1}{x+1}x2−11 +x+11
解：
1x2−1+1x+1\frac{1}{x^2 - 1} + \frac{1}{x+1}x2−11 +x+11
=1(x+1)(x−1)+1x+1= \frac{1}{(x+1)(x-1)} + \frac{1}{x+1}=(x+1)(x−1)1 +x+11
=1(x+1)(x−1)+x−1(x+1)(x−1)= \frac{1}{(x+1)(x-1)} + \frac{x-1}{(x+1)(x-1)}=(x+1)(x−1)1 +(x+1)(x−1)x−1
=1+x−1(x+1)(x−1)= \frac{1 + x - 1}{(x+1)(x-1)}=(x+1)(x−1)1+x−1
=x(x+1)(x−1)= \frac{x}{(x+1)(x-1)}=(x+1)(x−1)x
例题3：复杂分式分解
分解：x2+3x+2x3−4x\frac{x^2 + 3x + 2}{x^3 - 4x}x3−4xx2+3x+2
解：
x2+3x+2x3−4x\frac{x^2 + 3x + 2}{x^3 - 4x}x3−4xx2+3x+2
=(x+1)(x+2)x(x2−4)= \frac{(x+1)(x+2)}{x(x^2 - 4)}=x(x2−4)(x+1)(x+2)
=(x+1)(x+2)x(x+2)(x−2)= \frac{(x+1)(x+2)}{x(x+2)(x-2)}=x(x+2)(x−2)(x+1)(x+2)
=x+1x(x−2)= \frac{x+1}{x(x-2)}=x(x−2)x+1 （x≠0,2,−2x \neq 0, 2, -2x=0,2,−2）
例题4：分式方程
解方程：1x−2+3x+2=4x2−4\frac{1}{x-2} + \frac{3}{x+2} = \frac{4}{x^2-4}x−21 +x+23 =x2−44
解：
首先分解分母：x2−4=(x+2)(x−2)x^2-4 = (x+2)(x-2)x2−4=(x+2)(x−2)
方程两边同乘以(x+2)(x−2)(x+2)(x-2)(x+2)(x−2)：
(x+2)+3(x−2)=4(x+2) + 3(x-2) = 4(x+2)+3(x−2)=4
x+2+3x−6=4x+2 + 3x - 6 = 4x+2+3x−6=4
4x−4=44x - 4 = 44x−4=4
4x=84x = 84x=8
x=2x = 2x=2
检验：x=2x=2x=2使分母x−2=0x-2=0x−2=0，为增根
所以原方程无解
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5. 综合例题解析
例题1：提公因式与公式法结合
分解：4x2−9y2+4x+14x^2 - 9y^2 + 4x + 14x2−9y2+4x+1
解：
4x2−9y2+4x+14x^2 - 9y^2 + 4x + 14x2−9y2+4x+1
=(4x2+4x+1)−9y2= (4x^2 + 4x + 1) - 9y^2=(4x2+4x+1)−9y2
=(2x+1)2−(3y)2= (2x+1)^2 - (3y)^2=(2x+1)2−(3y)2
=(2x+1+3y)(2x+1−3y)= (2x+1+3y)(2x+1-3y)=(2x+1+3y)(2x+1−3y)
例题2：分组分解
分解：x3+x2−x−1x^3 + x^2 - x - 1x3+x2−x−1
解：
x3+x2−x−1x^3 + x^2 - x - 1x3+x2−x−1
=x2(x+1)−1(x+1)= x^2(x+1) - 1(x+1)=x2(x+1)−1(x+1)
=(x+1)(x2−1)= (x+1)(x^2-1)=(x+1)(x2−1)
=(x+1)(x+1)(x−1)= (x+1)(x+1)(x-1)=(x+1)(x+1)(x−1)
=(x+1)2(x−1)= (x+1)^2(x-1)=(x+1)2(x−1)
例题3：十字相乘
分解：6x2−5x−66x^2 - 5x - 66x2−5x−6
解：
a=6=2×3a = 6 = 2 \times 3a=6=2×3，c=−6=2×(−3)c = -6 = 2 \times (-3)c=−6=2×(−3)
检验：2×(−3)+3×2=−6+6=02 \times (-3) + 3 \times 2 = -6 + 6 = 02×(−3)+3×2=−6+6=0 ✗
正确：a=6=2×3a = 6 = 2 \times 3a=6=2×3，c=−6=3×(−2)c = -6 = 3 \times (-2)c=−6=3×(−2)
检验：2×(−2)+3×3=−4+9=52 \times (-2) + 3 \times 3 = -4 + 9 = 52×(−2)+3×3=−4+9=5 ✗
正确：a=6=3×2a = 6 = 3 \times 2a=6=3×2，c=−6=2×(−3)c = -6 = 2 \times (-3)c=−6=2×(−3)
检验：3×(−3)+2×2=−9+4=−53 \times (-3) + 2 \times 2 = -9 + 4 = -53×(−3)+2×2=−9+4=−5 ✗
正确：a=6=3×2a = 6 = 3 \times 2a=6=3×2，c=−6=−2×3c = -6 = -2 \times 3c=−6=−2×3
检验：3×3+2×(−2)=9−4=53 \times 3 + 2 \times (-2) = 9 - 4 = 53×3+2×(−2)=9−4=5 ✗
实际上：6x2−5x−6=(2x−3)(3x+2)6x^2 - 5x - 6 = (2x-3)(3x+2)6x2−5x−6=(2x−3)(3x+2)
检验：(2x−3)(3x+2)=6x2+4x−9x−6=6x2−5x−6(2x-3)(3x+2) = 6x^2 + 4x - 9x - 6 = 6x^2 - 5x - 6(2x−3)(3x+2)=6x2+4x−9x−6=6x2−5x−6 ✓
例题4：分式综合
化简：x2−4x+4x2−4÷x−2x+2×1x−2\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4} \div \frac{x-2}{x+2} \times \frac{1}{x-2}x2−4x2−4x+4 ÷x+2x−2 ×x−21
解：
x2−4x+4x2−4÷x−2x+2×1x−2\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4} \div \frac{x-2}{x+2} \times \frac{1}{x-2}x2−4x2−4x+4 ÷x+2x−2 ×x−21
=(x−2)2(x+2)(x−2)×x+2x−2×1x−2= \frac{(x-2)^2}{(x+2)(x-2)} \times \frac{x+2}{x-2} \times \frac{1}{x-2}=(x+2)(x−2)(x−2)2 ×x−2x+2 ×x−21
=(x−2)2(x+2)(x−2)×x+2x−2×1x−2= \frac{(x-2)^2}{(x+2)(x-2)} \times \frac{x+2}{x-2} \times \frac{1}{x-2}=(x+2)(x−2)(x−2)2 ×x−2x+2 ×x−21
=(x−2)2⋅(x+2)(x+2)(x−2)⋅(x−2)⋅(x−2)= \frac{(x-2)^2 \cdot (x+2)}{(x+2)(x-2) \cdot (x-2) \cdot (x-2)}=(x+2)(x−2)⋅(x−2)⋅(x−2)(x−2)2⋅(x+2)
=1x−2= \frac{1}{x-2}=x−21 （x≠2,−2x \neq 2, -2x=2,−2）
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6. 综合练习
1. 分解因式：x4−16x^4 - 16x4−16
2. 分解因式：x2+4xy+4y2−9x^2 + 4xy + 4y^2 - 9x2+4xy+4y2−9
3. 分解因式：x3−2x2−x+2x^3 - 2x^2 - x + 2x3−2x2−x+2
4. 化简：x2−9x2−6x+9\frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9}x2−6x+9x2−9
5. 计算：1x2−4−1x+2\frac{1}{x^2 - 4} - \frac{1}{x+2}x2−41 −x+21
6. 解方程：xx−1−3x+1=1\frac{x}{x-1} - \frac{3}{x+1} = 1x−1x −x+13 =1
答案：
1. (x2+4)(x+2)(x−2)(x^2+4)(x+2)(x-2)(x2+4)(x+2)(x−2)
2. (x+2y+3)(x+2y−3)(x+2y+3)(x+2y-3)(x+2y+3)(x+2y−3)
3. (x−2)(x+1)(x−1)(x-2)(x+1)(x-1)(x−2)(x+1)(x−1)
4. x+3x−3\frac{x+3}{x-3}x−3x+3 （x≠3x \neq 3x=3）
5. 2−x(x+2)(x−2)\frac{2-x}{(x+2)(x-2)}(x+2)(x−2)2−x
6. x=2x=2x=2 （检验：x=2x=2x=2是原方程的解）
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