闲着没事干，就来试试写这篇文章了删除文本
我们在进行类似 ∑k=1rt(k)\sum _{k = 1}^{r} t(k)∑k=1r t(k) 这样的计算时，通常会使用裂项来简便的解决
怎样简便解决？吧 t(k)t(k)t(k) 变成 T(k+1)−T(k)T(k + 1) - T(k)T(k+1)−T(k) 这样，求和便能变成 T(r)−T(1)T(r) - T(1)T(r)−T(1) 这样的形式
那，如何求 T(k)T(k)T(k) 呢？（以下仅给出计算方式，因为我还是xxs不懂怎么来的）
首先，把原数列 t(k)t(k)t(k) 两项作比，拆分 pqr，就像这样：
t(k+1)t(k)=p(k+1)p(k)q(k)r(k+1)\frac{t(k + 1)}{t(k)} = \frac{p(k + 1)}{p(k)} \frac{q(k)}{r(k + 1)} t(k)t(k+1) =p(k)p(k+1) r(k+1)q(k)
我们需要找到合适的 pqr，可以先设 p(k)=1p(k) = 1p(k)=1，q,rq,rq,r 为分子，分母
把 q,rq,rq,r 变成多项式的形式，如下（CCC 是常数）：
q(k)=Cq(k+q1)(k+q2) ... (k+qn)r(k)=Cr(k+r1)(k+r2) ... (k+rm)q(k) = C_q(k + q_1) (k + q_2)~...~(k + q_n) \\ r(k) = C_r(k + r_1) (k + r_2)~...~(k + r_m) q(k)=Cq (k+q1 )(k+q2 ) ... (k+qn )r(k)=Cr (k+r1 )(k+r2 ) ... (k+rm )
满足不存在 qi,rjq_i,r_jqi ,rj ，使得 qi−rjq_i-r_jqi −rj 为正整数
那如果有，咋办呢？
没关系，我们还有 ppp 函数，接下来，我们把不满足的项全部“吸收”到 ppp 里
具体来说，如果我们找到一对 qi,rjq_i,r_jqi ,rj ，那么你把 ppp 搞成如下形式：
p(k)←p(k)(k+rj+1)(k+rj+2)(k+rj+3) ... (k+qi−3)(k+qi−2)(k+qi−1)p(k) \leftarrow p(k) (k + r_j + 1) (k + r_j + 2) (k + r_j + 3)~...~(k + q_i - 3) (k + q_i - 2) (k + q_i - 1) p(k)←p(k)(k+rj +1)(k+rj +2)(k+rj +3) ... (k+qi −3)(k+qi −2)(k+qi −1)
然后，去掉 q(k)q(k)q(k) 里的 (k+qi)(k + q_i)(k+qi ) ，r(k)r(k)r(k) 里的 (k+rj)(k + r_j)(k+rj )
如果还有，重复以上过程
ok ，上面过程做完了，我们接着算 dp,dq,drd_p, d_q, d_rdp ,dq ,dr ，其中 ddd 为函数里的最高项，注意常数的最高项是 000
请注意，如果多项式结果为 000 ，指标 d=−1d = -1d=−1
然后，把得到的 q,rq, rq,r 相加相减，得到 Q(k),R(k)Q(k), R(k)Q(k),R(k)
{Q(k)=q(k)−r(k)R(k)=q(k)+r(k){dQ≥dR d=dp−dQdQ<dR d=dp−dR+1⇒得到数d\begin{cases} Q(k) = q(k) - r(k) \\ R(k) = q(k) + r(k) \\ \end{cases} \\ \begin{cases} d_Q\ge d_R ~~~ d = d_p - d_Q \\ d_Q < d_R ~~~ d = d_p - d_R + 1\\ \Rightarrow 得到数 d \\ \end{cases} {Q(k)=q(k)−r(k)R(k)=q(k)+r(k) ⎩⎨⎧ dQ ≥dR
d=dp −dQ dQ <dR d=dp −dR +1⇒得到数d
ddd 可以用来作为判别，如下：
{d<0 不要接着算，不能 Gosper 裂项d≥0 接着算\begin{cases} d < 0 ~~ 不要接着算，不能 ~ Gosper ~ 裂项 \\ d \ge 0 ~~ 接着算\\ \end{cases} {d<0 不要接着算，不能 Gosper 裂项d≥0 接着算
算完之后，我们来解一个等式：p(k)=q(k)s(k+1)−r(k)s(k)p(k) = q(k)s(k + 1) - r(k)s(k)p(k)=q(k)s(k+1)−r(k)s(k)
其中 s(k)s(k)s(k) 为 ddd 次多项式，我们可以待定系数法解出来
最终的 T(k)T(k)T(k) 为 r(k)s(k)t(k)p(k)\frac{r(k)s(k)t(k)}{p(k)}p(k)r(k)s(k)t(k)
上几道实战：
∑k=1nk2k\sum_ {k = 1} ^ {n} {\dfrac{k}{2 ^ k}} k=1∑n 2kk
t(k)=k2kt(k+1)t(k)=k+12k+1÷k2k=k+12kp(k)=1,q(k)=k+1,r(k)=2(k−1)1−(−1)=2 要吸收p(k)=1×(k+(−1)+1)=k,q(k)=1,r(k)=2Q(k)=1−2=−1,R(k)=1+2=3dQ=0,dR=0d=1−0=0k=1×s(k+1)−2×s(k)s(k)=s1k+s0k=s1×(k+1)+s0−2×(s1k+s0)k=−s1k−s0+s1s1=−1,s0=−1s(k)=−k−1T(k)=2(−k−1)k2kk=−k+12k−1T(k+1)−T(k)=−k+22k+k+12k−1=k2kt(k) =
\frac{k}{2 ^ k} \\ \frac{t(k + 1)}{t(k)} = \frac{k + 1}{2^{k + 1}} \div {\frac{k}{2 ^ k}} = \frac{k + 1}{2k} \\ p(k) = 1, q(k) = k + 1, r(k) = 2(k - 1) \\ 1 - (-1) = 2 ~ 要吸收 \\ p(k) = 1 \times (k + (-1) + 1) = k, q(k) = 1, r(k) = 2 \\ Q(k) = 1 - 2 = -1, R(k) = 1 + 2 = 3 \\ d_Q = 0, d_R = 0 \\ d = 1
- 0 = 0 \\ k = 1\times s(k + 1) - 2\times s(k) \\ s(k) = s_1k + s_0 \\ k = s_1\times (k + 1) + s_0 - 2\times(s_1k + s_0) \\ k = -s_1k - s_0+s_1 \\ s_1 = -1, s_0 = -1 \\ s(k) = -k - 1 \\ T(k) = \frac{2(-k - 1)\frac{k}{2 ^ k}}{k} = -\frac{k + 1}{2 ^ {k - 1}} \\ T(k + 1) - T(k) = -\frac{k + 2}{2 ^ k} +
\frac{k + 1}{2 ^ {k - 1}} = \frac{k}{2 ^ k} \\ t(k)=2kk t(k)t(k+1) =2k+1k+1 ÷2kk =2kk+1 p(k)=1,q(k)=k+1,r(k)=2(k−1)1−(−1)=2 要吸收p(k)=1×(k+(−1)+1)=k,q(k)=1,r(k)=2Q(k)=1−2=−1,R(k)=1+2=3dQ =0,dR =0d=1−0=0k=1×s(k+1)−2×s(k)s(k)=s1 k+s0 k=s1 ×(k+1)+s0 −2×(s1 k+s0 )k=−s1 k−s0 +s1 s1 =−1,s0
=−1s(k)=−k−1T(k)=k2(−k−1)2kk =−2k−1k+1 T(k+1)−T(k)=−2kk+2 +2k−1k+1 =2kk
没写完，下周再写（（（
