已经预告过了这次的内容（当然会比之前两次的内容还多）。之前我们已经讲过幂函数、指数函数、对数函数的导数，只剩下了三角函数及其反函数，双曲函数及其反函数的导数没有介绍了。
本文围绕以下内容展开：
· 第一重要极限
· 三角函数的导数
· 反三角函数的导数
· 双曲函数的定义
· 双曲函数的导数
· 反双曲函数的导数
10. 三角函数的导数
10.1. 一个重要的极限
我们在正式证明三角函数的导数之前，要来看一个重要的极限，也被称为 第一重要极限。没有这个极限，我们将无法得到所有三角函数的导数。
这个极限是这样的：
limx→0sinxx=1\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin{x}}{x}=1 x→0lim xsinx =1
如果你会洛必达法则，你可能会想：因为 x→0x\to0x→0 时分子和分母都趋向于 000，所以可以上下同时求导洛出新的极限为 limx→0=cosx1=1\displaystyle\lim_{x\to0}=\cfrac{\cos{x}}{1}=1x→0lim =1cosx =1，但这是错误的，你的证明过程涉及 循环论证，你没有这个极限无法得知 sinx\sin{x}sinx 的导数。
为了证明这个极限，你可以在草稿本上绘制一个半径为 111，圆心角弧度为 xxx（0<x<π20<x<\dfrac{\pi}{2}0<x<2π ）的扇形，如图所示：
（熟悉的Python绘图）
因为你这是单位扇形，所以圆心角的弧度就是弧 AB⌢\overset{\large{\frown}}{AB}AB⌢ 的长。过点 AAA 作 AC⊥OBAC\perp OBAC⊥OB 于点 CCC，过点 BBB 作 BD⊥OBBD\perp OBBD⊥OB 交 OAOAOA 延长线于点 DDD。
根据三角函数的定义，我们知道在 Rt△AOCRt\triangle AOCRt△AOC 中，sinO=ACAO\sin O=\cfrac{AC}{AO}sinO=AOAC ，因此 AC=sinxAC=\sin{x}AC=sinx。
同样的道理，可以得到 BD=tanxBD=\tan{x}BD=tanx。
由上面的图知道，AC≤AB⌢≤BDAC\leq \overset{\large{\frown}}{AB}\leq BDAC≤AB⌢≤BD，于是我们得到了一个著名的不等式：
sinx≤x≤tanx\sin{x}\leq x\leq\tan{x} sinx≤x≤tanx
将该不等式取倒数，就得到了：
1sinx≥1x≥1tanx\dfrac{1}{\sin{x}}\geq\dfrac{1}{x}\geq\dfrac{1}{\tan{x}} sinx1 ≥x1 ≥tanx1
接着，两边同时乘上 sinx\sin{x}sinx，得到：
1≥sinxx≥sinxtanx1\geq\dfrac{\sin{x}}{x}\geq\dfrac{\sin{x}}{\tan{x}} 1≥xsinx ≥tanxsinx
因为 tanx=sinxcosx\tan{x}=\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}tanx=cosxsinx ，所以可以化简成：
1≥sinxx≥cosx1\geq\dfrac{\sin{x}}{x}\geq\cos{x} 1≥xsinx ≥cosx
现在，我们考虑极限：
limx→0+cosx\displaystyle\lim_{x\to0^+}\cos{x} x→0+lim cosx
因为 cos(0)=1\cos(0)=1cos(0)=1，所以我们知道 limx→0+cosx=limx→0+1=1\displaystyle\lim_{x\to0^+}\cos{x}=\lim_{x\to0^+}1=1x→0+lim cosx=x→0+lim 1=1，则根据夹逼定理，limx→0+sinxx=1\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{\sin{x}}{x}=1x→0+lim xsinx =1。
很好，我们证明了这个极限——但这只不过是右极限，我们再来看看左极限：
limx→0−sinxx=1\displaystyle\lim_{x\to0^-}\dfrac{\sin{x}}{x}=1 x→0−lim xsinx =1
如果我们令 t=−xt=-xt=−x，那么就有 x=−tx=-tx=−t，则原极限可以变成：
limx→0−sinxx=limt→0+sin(−t)−t\displaystyle\lim_{x\to0^-}\dfrac{\sin{x}}{x}=\displaystyle\lim_{t\to0^+}\dfrac{\sin(-t)}{-t} x→0−lim xsinx =t→0+lim −tsin(−t)
因为 sinx\sin{x}sinx 为奇函数，所以 sin(−x)=−sinx\sin(-x)=-\sin{x}sin(−x)=−sinx，那么，极限进一步化简：
limx→0−sinxx=limt→0+sin(−t)−t=limt→0+−sint−t=limt→0+sintt=1\displaystyle\lim_{x\to0^-}\dfrac{\sin{x}}{x}=\lim_{t\to0^+}\dfrac{\sin(-t)}{-t}=\lim_{t\to0^+}\dfrac{-\sin{t}}{-t}=\lim_{t\to0^+}\dfrac{\sin{t}}{t}=1 x→0−lim xsinx =t→0+lim −tsin(−t) =t→0+lim −t−sint =t→0+lim tsint =1
因此，我们证明了：
limx→0sinxx=1\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin{x}}{x}=1 x→0lim xsinx =1
10.2. 正弦函数求导
为了更好的理解下面的内容，我们需要先求另一个极限：
limx→01−cosxx\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos{x}}{x} x→0lim x1−cosx
我们可以用 1+cosx1+\cos{x}1+cosx 分别和分子与分母相乘，可以得到：
limx→01−cosxx=limx→0(1−cosx)(1+cosx)x(1+cosx)=limx→01−cos2xx11+cosx=limx→0sinxxsinx1+cosx=limx→0sinxxlimx→0sinx1+cosx\displaystyle\,\,\,\,\,\,\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos{x}}{x}\\ =\lim_{x\to0}\cfrac{(1-\cos{x})(1+\cos{x})}{x(1+\cos{x})}\\
=\lim_{x\to0}\cfrac{1-\cos^2{x}}{x}\cfrac{1}{1+\cos{x}}\\ =\lim_{x\to0}\cfrac{\sin{x}}{x}\cfrac{\sin{x}}{1+\cos{x}}\\ =\lim_{x\to0}\cfrac{\sin{x}}{x}\lim_{x\to0}\cfrac{\sin{x}}{1+\cos{x}}x→0lim x1−cosx =x→0lim x(1+cosx)(1−cosx)(1+cosx) =x→0lim x1−cos2x 1+cosx1 =x→0lim xsinx 1+cosxsinx =x→0lim xsinx
x→0lim 1+cosxsinx
前者就是上面我们证明的“第一重要极限”，后者代入 x=0x=0x=0，分子为 000 而分母不为 000，因此后者就是 000，则原极限结果就是 1×0=01\times0=01×0=0
现在我们可以考虑计算正弦函数的导数了。直接带入导数的定义：
sin′x=limh→0sin(x+h)−sin(x)h\displaystyle\,\,\,\,\,\,\,\sin'{x}\\ =\lim_{h\to0}\cfrac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\\sin′x=h→0lim hsin(x+h)−sin(x)
分子的前面部分可以利用和角公式进行拆解：
sin′x=limh→0sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)−sin(x)h\displaystyle\,\,\,\,\,\,\,\sin'{x}\\ =\lim_{h\to0}\dfrac{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h}sin′x=h→0lim hsin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)−sin(x)
提公因式，得到：
sin′x=limh→0sin(x)cos(h)−1h+cos(x)sin(h)h\displaystyle\,\,\,\,\,\,\,\sin'{x}\\ =\lim_{h\to0}\sin(x)\dfrac{\cos(h)-1}{h}+\cos(x)\dfrac{\sin(h)}{h}sin′x=h→0lim sin(x)hcos(h)−1 +cos(x)hsin(h)
前半部分的结果是 000，limh→0cos(h)−1h\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{\cos(h)-1}{h}h→0lim hcos(h)−1 这个极限我们刚刚证明过为 000，因此结果也为 000。后半部分明显结果为 cosx\cos{x}cosx。所以，我们可以得到：
sin′x=cosx\sin'{x}=\cos{x} sin′x=cosx
10.3. 余弦函数求导
完成了正弦函数求导过程，你可以自行试试余弦函数求导，直接代入导数的定义，或者利用三角恒等式 sin2x+cos2x=1\sin^2{x}+\cos^2{x}=1sin2x+cos2x=1 再求导。
我们依旧使用导数的定义：
cos′x=limh→0cos(x+h)−cos(x)h=limh→0cos(x)cos(h)−sin(x)sin(h)−cos(x)h=limh→0cos(x)cos(h)−1h−sin(x)sin(h)h=−sin(x)\displaystyle\,\,\,\,\,\,\,\cos'{x}\\ =\lim_{h\to0}\cfrac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}\\ =\lim_{h\to0}\cfrac{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)}{h}\\
=\lim_{h\to0}\cos(x)\cfrac{\cos(h)-1}{h}-\sin(x)\cfrac{\sin(h)}{h}\\ =-\sin(x)cos′x=h→0lim hcos(x+h)−cos(x) =h→0lim hcos(x)cos(h)−sin(x)sin(h)−cos(x) =h→0lim cos(x)hcos(h)−1 −sin(x)hsin(h) =−sin(x)
因此，我们能够得到：
sin′x=cosx,cos′x=−sinx\sin'{x}=\cos{x},\cos'{x}=-\sin{x} sin′x=cosx,cos′x=−sinx
别忘了有一个负号！！！
10.4. 正切函数求导
搞定了 sin′x\sin'{x}sin′x 和 cos′x\cos'{x}cos′x 后，其它三角函数求导就很好办了。比如说正切函数求导 tan′x\tan'{x}tan′x。
我们知道 tanx=sinxcosx\tan{x}=\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}tanx=cosxsinx ，因此，利用商法则可以求出 tan′x\tan'{x}tan′x
tan′x=cosxsin′x−sinxcos′xcos2x\tan'{x}=\dfrac{\cos{x}\sin'{x}-\sin{x}\cos'{x}}{\cos^2{x}} tan′x=cos2xcosxsin′x−sinxcos′x
经过计算和化简，容易得到 tan′x=1cos2x=sec2x\tan'{x}=\dfrac{1}{\cos^2{x}}=\sec^2{x}tan′x=cos2x1 =sec2x。
10.5. 余切函数求导
你可以继续利用 cotx=cosxsinx\cot{x}=\dfrac{\cos{x}}{\sin{x}}cotx=sinxcosx 对余切函数利用商法则求导。不过，更好的办法是表示成 cotx=1tanx\cot{x}=\dfrac{1}{\tan{x}}cotx=tanx1 然后利用商法则。
cot′x=−sec2xtan2x=−1cos2xsin2xcos2x=−csc2x\cot'{x}=\cfrac{-\sec^2{x}}{\tan^2{x}}=-\cfrac{\cfrac{1}{\cos^2{x}}}{\cfrac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}}=-\csc^2{x} cot′x=tan2x−sec2x =−cos2xsin2x cos2x1 =−csc2x
10.6. 正割函数求导
我们继续利用 secx=1cosx\sec{x}=\dfrac{1}{\cos{x}}secx=cosx1 的定义，套用商法则求导：
sec′x=−(−sinx)cos2x=sinxcosx1cosx=tanxsecx\sec'{x}=\cfrac{-(-\sin{x})}{\cos^2{x}}=\cfrac{\sin{x}}{\cos{x}}\cfrac{1}{\cos{x}}=\tan{x}\sec{x} sec′x=cos2x−(−sinx) =cosxsinx cosx1 =tanxsecx
10.7. 余割函数求导
继续，cscx=1sinx\csc{x}=\dfrac{1}{\sin{x}}cscx=sinx1 ，利用商法则求导：
csc′x=−cosxsin2x=−cosxsinx1sinx=−cotxcscx\csc'{x}=\cfrac{-\cos{x}}{\sin^2{x}}=-\cfrac{\cos{x}}{\sin{x}}\cfrac{1}{\sin{x}}=-\cot{x}\csc{x} csc′x=sin2x−cosx =−sinxcosx sinx1 =−cotxcscx
综上，你会发现：名字中带有“正”字的三角函数，它们的导数都不带负号；名字中带有“余”字的三角函数，它们的导数都带负号。
11. 反三角函数的导数
11.1 什么是反三角函数
顾名思义，反三角函数就是三角函数的反函数，比如 sinx\sin{x}sinx 的反函数就是 arcsinx\arcsin{x}arcsinx 或者 sin−1x\sin^{-1}{x}sin−1x，在编程中写作 asin(x)asin(x)asin(x)
但是，反三角函数真的只是把三角函数反过来那么简单吗？我们在计算器中输入 y=sinxy=\sin{x}y=sinx，你会看到它的图像是“正弦波”，一个 xxx 只对应一个 yyy，但是一个 yyy 可以通过无数个 xxx 映射得到，如果直接把三角函数倒过来得到反函数，你会发现它不符合函数的定义。
因此，为了定义三角函数的反函数，我们必须规定其定义域和值域（尤其是限制它的值域）。反三角函数的定义域很好得到，三角函数的值域就是反三角函数的定义域。那么反三角函数的值域呢？
11.1.1. 反正弦函数
观察 y=sinxy=\sin{x}y=sinx 的图像：
不难发现，Z(sin)=[−1,1]Z(\sin)=[-1,1]Z(sin)=[−1,1]，当 x∈[−π2,π2]x\in[-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}]x∈[−2π ,2π ] 时依然满足 y∈[−1,1]y\in[-1,1]y∈[−1,1]。因此反正弦函数的定义域 D(arcsin)=[−1,1]D(\arcsin)=[-1,1]D(arcsin)=[−1,1]，值域 Z(arcsin)=[−π2,π2]Z(\arcsin)=[-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}]Z(arcsin)=[−2π ,2π ]，如下图所示是函数
y=arcsinxy=\arcsin{x}y=arcsinx 的图像：
易发现 y=arcsinxy=\arcsin{x}y=arcsinx 是一个奇函数。
11.1.2. 反余弦函数
观察 y=cosxy=\cos{x}y=cosx 的图像：
不难发现，Z(cos)=[−1,1]Z(\cos)=[-1,1]Z(cos)=[−1,1]，当 x∈[0,π]x\in[0,\pi]x∈[0,π] 时依然满足 y∈[−1,1]y\in[-1,1]y∈[−1,1]。因此反余弦函数的定义域 D(arccos)=[−1,1]D(\arccos)=[-1,1]D(arccos)=[−1,1]，值域 Z(arccos)=[0,π]Z(\arccos)=[0,\pi]Z(arccos)=[0,π]，如下图所示是函数 y=arccosxy=\arccos{x}y=arccosx 的图像：
易发现 y=arccosx 既不是奇函数，也不是偶函数！\color{red}y=\arccos{x}\,\,既不是奇函数，也不是偶函数！y=arccosx既不是奇函数，也不是偶函数！
11.1.3. 反正切函数
观察 y=tanxy=\tan{x}y=tanx 的图像：
不难发现，Z(tan)=(−∞,∞)Z(\tan)=(-\infty,\infty)Z(tan)=(−∞,∞)，当 x∈[−π2,π2]x\in[-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}]x∈[−2π ,2π ] 时依然满足 y∈(−∞,∞)y\in(-\infty,\infty)y∈(−∞,∞)。因此反正切函数的定义域 D(arctan)=(−∞,∞)D(\arctan)=(-\infty,\infty)D(arctan)=(−∞,∞)，值域
Z(arctan)=[−π2,π2]Z(\arctan)=[-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}]Z(arctan)=[−2π ,2π ]，如下图所示是函数 y=arctanxy=\arctan{x}y=arctanx 的图像：
易发现 y=arctanxy=\arctan{x}y=arctanx 是一个奇函数。
11.1.4. 反余切函数
观察 y=cotxy=\cot{x}y=cotx 的图像：
不难发现，Z(cot)=(−∞,∞)Z(\cot)=(-\infty,\infty)Z(cot)=(−∞,∞)，当 x∈[−π2,π2]x\in[-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}]x∈[−2π ,2π ] 时依然满足 y∈(−∞,∞)y\in(-\infty,\infty)y∈(−∞,∞)。因此反余切函数的定义域 D(arccot)=(−∞,∞)D(arc\cot)=(-\infty,\infty)D(arccot)=(−∞,∞)，值域
Z(arccot)=[−π2,π2]Z(arc\cot)=[-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}]Z(arccot)=[−2π ,2π ]，如下图所示是函数 y=arccotxy=arc\cot{x}y=arccotx 的图像：
易发现 y=arccotxy=arc\cot{x}y=arccotx 是一个奇函数。
11.1.5. 反正割函数
观察 y=secxy=\sec{x}y=secx 的图像：
不难发现，Z(sec)=(−∞,∞)∖(−1,1)Z(\sec)=(-\infty,\infty)\setminus(-1,1)Z(sec)=(−∞,∞)∖(−1,1)，或者说写作 Z(sec)=(−∞,−1]∪[1,∞)Z(\sec)=(-\infty,-1]\cup[1,\infty)Z(sec)=(−∞,−1]∪[1,∞)，当 x∈[0,π]x\in[0,\pi]x∈[0,π] 时依然满足 y∈(−∞,−1]∪[1,∞)y\in(-\infty,-1]\cup[1,\infty)y∈(−∞,−1]∪[1,∞)。因此反正割函数的定义域
D(arcsec)=(−∞,−1]∪[1,∞)D(arc\sec)=(-\infty,-1]\cup[1,\infty)D(arcsec)=(−∞,−1]∪[1,∞)，值域 Z(arcsec)=[0,π]Z(arc\sec)=[0,\pi]Z(arcsec)=[0,π]，如下图所示是函数 y=arcsecxy=arc\sec{x}y=arcsecx 的图像：
易发现 y=arccosx 既不是奇函数，也不是偶函数！\color{red}y=\arccos{x}\,\,既不是奇函数，也不是偶函数！y=arccosx既不是奇函数，也不是偶函数！
11.1.6. 反余割函数
观察 y=cscxy=\csc{x}y=cscx 的图像：
不难发现，Z(csc)=(−∞,∞)∖(−1,1)Z(\csc)=(-\infty,\infty)\setminus(-1,1)Z(csc)=(−∞,∞)∖(−1,1)，也可以写作 Z(csc)=(−∞,−1]∪[1,∞)Z(\csc)=(-\infty,-1]\cup[1,\infty)Z(csc)=(−∞,−1]∪[1,∞)，当 x∈[−π2,π2]x\in[-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}]x∈[−2π ,2π ] 时依然满足
y∈(−∞,−1]∪[1,∞)y\in(-\infty,-1]\cup[1,\infty)y∈(−∞,−1]∪[1,∞)。因此反余割函数的定义域 D(arccsc)=(−∞,−1]∪[1,∞)D(arc\csc)=(-\infty,-1]\cup[1,\infty)D(arccsc)=(−∞,−1]∪[1,∞)，值域 Z(arccsc)=[−π2,π2]Z(arc\csc)=[-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}]Z(arccsc)=[−2π ,2π ]，如下图所示是函数 y=arccscxy=arc\csc{x}y=arccscx 的图像：
易发现 y=arccscxy=arc\csc{x}y=arccscx 是一个奇函数。
11.2. 反正弦函数求导
现在我们可以考虑反函数求导了。还是一样，先尝试套用导数定义：
arcsin′x=limh→0arcsin(x+h)−arcsin(x)h\displaystyle\arcsin'{x}=\lim_{h\to0}\dfrac{\arcsin(x+h)-\arcsin(x)}{h} arcsin′x=h→0lim harcsin(x+h)−arcsin(x)
可惜了，我们没有关于反正弦函数的和差公式。不妨换一种方式，继续利用我们指数函数求导的时候用到的方法——利用反函数，并通过隐函数求导得到我们的答案。
令 y=arcsinxy=\arcsin{x}y=arcsinx，则 x=sinyx=\sin{y}x=siny，欲求 ΔyΔx\dfrac{\Delta y}{\Delta x}ΔxΔy ，先求 ΔxΔy\dfrac{\Delta x}{\Delta y}ΔyΔx ，再求倒数：
ΔxΔy=cosy\dfrac{\Delta x}{\Delta y}=\cos{y} ΔyΔx =cosy
因此，我们知道：
ΔyΔx=1cosy\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{1}{\cos{y}} ΔxΔy =cosy1
利用三角恒等式，我们知道：
sin2x+cos2x=1\sin^2{x}+\cos^2{x}=1 sin2x+cos2x=1
因此略作变形，得到：
cosx=1−sin2x\cos{x}=\sqrt{1-\sin^2{x}} cosx=1−sin2x
注意到反正切函数的图像单调递增，因此我们取它的正平方根是正确的选择。
代入原式，得到：
ΔyΔx=11−sin2y\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2{y}}} ΔxΔy =1−sin2y 1
代入 y=arcsinxy=\arcsin{x}y=arcsinx，得到：
ΔyΔx=11−sin2(sin−1(x))=11−x2\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\sin^{-1}(x))}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} ΔxΔy =1−sin2(sin−1(x)) 1 =1−x2 1
所以，我们有：
arcsin′x=11−x2\arcsin'{x}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} arcsin′x=1−x2 1
11.3. 反余弦函数求导
如果利用导数的定义，我们依然像上面一样会一无所获。因此，继续令 y=arccosxy=\arccos{x}y=arccosx，则 x=cosyx=\cos{y}x=cosy。我们可以有：
ΔxΔy=−siny\dfrac{\Delta x}{\Delta y}=-\sin{y} ΔyΔx =−siny
所以：
ΔyΔx=−1siny\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=-\dfrac{1}{\sin{y}} ΔxΔy =−siny1
依然根据三角恒等式的变形，得到：
sinx=1−cos2x\sin{x}=\sqrt{1-\cos^2{x}} sinx=1−cos2x
观察 y=arccosxy=\arccos{x}y=arccosx 的图像，你会发现它单调递减，而此处我们的导函数已经有了一个负号，因此不需要在 sin\sinsin 函数结果前面添加一个负号。那么，代入，就有：
ΔyΔx=−11−cos2y=−11−cos2(cos−1(x))=−11−x2\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-\cos^2{y}}}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-\cos^2(\cos^{-1}(x))}}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} ΔxΔy =−1−cos2y 1 =−1−cos2(cos−1(x)) 1 =−1−x2 1
所以，我们得到：
arccos′x=−11−x2\arccos'{x}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} arccos′x=−1−x2 1
令人惊叹！反正弦函数和反余弦函数的导数竟然互为相反数！
11.4. 反正切函数求导
让我们继续。令 y=tan−1xy=\tan^{-1}{x}y=tan−1x，则 x=tanyx=\tan{y}x=tany，因此：
ΔxΔy=sec2y\dfrac{\Delta x}{\Delta y}=\sec^2{y} ΔyΔx =sec2y
取倒数：
ΔyΔx=1sec2y\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{1}{\sec^2{y}} ΔxΔy =sec2y1
根据三角恒等式 sec2x=tan2x****ec^2{x}=\tan^2{x}***ec2x=tan2x+1，有：
ΔyΔx=1tan2y+1=1tan2(tan−1(x))+1=1x2+1\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{1}{\tan^2{y}+1}=\dfrac{1}{\tan^2(\tan^{-1}(x))+1}=\dfrac{1}{x^2+1} ΔxΔy =tan2y+11 =tan2(tan−1(x))+11 =x2+11
所以：
tan−1′x=1x2+1\tan^{-1}\\'{x}=\dfrac{1}{x^2+1} tan−1′x=x2+11
11.5. 反余切函数求导
和上面没什么区别，令 y=cot−1xy=\cot^{-1}{x}y=cot−1x，则 x=cotyx=\cot{y}x=coty，因此：
ΔxΔy=−csc2y\dfrac{\Delta x}{\Delta y}=-\csc^2{y} ΔyΔx =−csc2y
取倒数：
ΔyΔx=1csc2y\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{1}{\csc^2{y}} ΔxΔy =csc2y1
利用三角恒等式 csc2x=cot2x+1\csc^2{x}=\cot^2{x}+1csc2x=cot2x+1，有：
ΔyΔx=−1cot2y+1=−1cot2(cot−1(x))+1=−1x2+1\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=-\dfrac{1}{\cot^2{y}+1}=-\dfrac{1}{\cot^2(\cot^{-1}(x))+1}=-\dfrac{1}{x^2+1} ΔxΔy =−cot2y+11 =−cot2(cot−1(x))+11 =−x2+11
所以：
cot−1′x=−1x2+1\cot^{-1}\\'{x}=-\dfrac{1}{x^2+1} cot−1′x=−x2+11
11.6. 反正割函数求导
令 y=sec−1xy=sec^{-1}{x}y=sec−1x，则 x=secyx=\sec{y}x=secy
ΔxΔy=tanysecy\dfrac{\Delta x}{\Delta y}=\tan{y}\sec{y} ΔyΔx =tanysecy
因此：
ΔyΔx=1tanysecy=1tanysec(sec−1(x))=1xtany\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{1}{\tan{y}\sec{y}}=\dfrac{1}{\tan{y}\sec(\sec^{-1}(x))}=\dfrac{1}{x\tan{y}} ΔxΔy =tanysecy1 =tanysec(sec−1(x))1 =xtany1
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往期话题：
详解函数#1 幂函数、指数函数和对数函数
详解函数#2 三角函数
详解函数#3 极限
详解函数#4 导数(1) 导数的定义
详解函数#5 导数(2) 幂函数、指数函数和对数函数求导
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参考文献：《普林斯顿微积分》
