0. 防偷窥
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1. 最初的起点
1.1. 心中的疑惑
我重生了。上一世因为我的数学不太好，所以被我的第二人格——数学学得贼好的那个人格——给予了一次重新来过的机会。
于是这一世，我恶补数学，想要靠这个来成为一名数学大佬。
只可惜……奈何身边大佬学的特别超前，直接把我变成了唯一的数学勒瑟。
起因是这样的两道题：
原题链接：石头剪刀布（easy ver.）石头剪刀布（hard ver.）
我不知道为什么样例 x=1x=1x=1 的期望是 333 局，于是有了下面的故事：
1.2. 启程
对于样例 x=1x=1x=1，我的理解如下：
因为要 恰好 达到 111 分，所以只可能是一次平局
可能是一局达到平局，期望为 13×1\dfrac{1}{3}\times131 ×1
可能是两局，第一局输了没有得分，第二局平局，期望为 13×13×2\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}\times231 ×31 ×2
可能是三局，前两局输了没有得分，第三局平局，期望为 (13)3×3(\dfrac{1}{3})^3\times3(31 )3×3
可能是四局，前三局输了没有得分，第四局平局，期望为 (13)4×3(\dfrac{1}{3})^4\times3(31 )4×3
可能是……
因此，使得 x=1x=1x=1 的期望局数为 E=13×1+(13)2×2+(13)3×3+⋯E=\dfrac{1}{3}\times1+(\dfrac{1}{3})^2\times2+(\dfrac{1}{3})^3\times3+\cdotsE=31 ×1+(31 )2×2+(31 )3×3+⋯
化简：
E=∑i=1∞i⋅(13)iE=\sum_{i=1}^{\infty}i\cdot(\dfrac{1}{3})^i E=i=1∑∞ i⋅(31 )i
1.3. 放缩之旅
由于原级数较难求值，考虑进行放缩。
明显有：
∑i=1∞(13)i<E<∑i=1∞2i−1(13)i\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i<E<\sum_{i=1}^{\infty}2^{i-1}(\dfrac{1}{3})^i i=1∑∞ (31 )i<E<i=1∑∞ 2i−1(31 )i
令 A=∑i=1∞(13)i, B=∑i=1∞2i−1(13)i\displaystyle A=\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i,\,\,B=\sum_{i=1}^{\infty}2^{i-1}(\dfrac{1}{3})^iA=i=1∑∞ (31 )i,B=i=1∑∞ 2i−1(31 )i
先考虑化简 AAA
左右两边同时乘上 13\dfrac{1}{3}31 ，得到：
13A=13∑i=1∞(13)i=∑i=2∞(13)i\dfrac{1}{3}A=\dfrac{1}{3}\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i=\sum_{i=2}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i 31 A=31 i=1∑∞ (31 )i=i=2∑∞ (31 )i
错位相减：
A−13A=∑i=1∞(13)i−∑i=2∞(13)iA-\dfrac{1}{3}A=\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i-\sum_{i=2}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i A−31 A=i=1∑∞ (31 )i−i=2∑∞ (31 )i
化简：
23A=13\dfrac{2}{3}A=\dfrac{1}{3} 32 A=31
因此：
A=12A=\dfrac{1}{2} A=21
接着考虑化简 BBB
先对其进行变形：
B=∑i=1∞2i−1(13)i=13∑i=1∞(23)i−1=13∑i=0∞(23)iB=\sum_{i=1}^{\infty}2^{i-1}(\dfrac{1}{3})^i=\dfrac{1}{3}\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^{i-1}=\dfrac{1}{3}\sum_{i=0}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^i B=i=1∑∞ 2i−1(31 )i=31 i=1∑∞ (32 )i−1=31 i=0∑∞ (32 )i
左右同时乘上 23\dfrac{2}{3}32 ：
23B=13∑i=1∞(23)i\dfrac{2}{3}B=\dfrac{1}{3}\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^i 32 B=31 i=1∑∞ (32 )i
错位相减：
B−23B=13∑i=0∞(23)i−13∑i=1∞(23)iB-\dfrac{2}{3}B=\dfrac{1}{3}\sum_{i=0}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^i-\dfrac{1}{3}\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^i B−32 B=31 i=0∑∞ (32 )i−31 i=1∑∞ (32 )i
化简：
13B=13×1\dfrac{1}{3}B=\dfrac{1}{3}\times1 31 B=31 ×1
因此：
B=1B=1 B=1
所以，有 12<E<1\dfrac{1}{2}<E<121 <E<1
2. 问题所在？
2.1. 新的希望？
有一件诡异的事情：至少也需要 111 局才能够得分，为什么算出来的期望却是在 (12,1)(\dfrac{1}{2},1)(21 ,1) 之间？
这个问题来自于评论区大佬。我然后也意识到了问题的严重性。
不过，我想到了问题产生的可能原因：为什么两局的期望是 13×13×2\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}\times231 ×31 ×2
很明显的一点，平局概率只是 13\dfrac{1}{3}31 ，那么没有平局的概率就只能是 1−13=231-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}1−31 =32
因此，作出更正：
E≠∑i=1∞i⋅(13)iE\neq\sum_{i=1}^{\infty}i\cdot(\dfrac{1}{3})^i E=i=1∑∞ i⋅(31 )i
E=∑i=1∞i⋅(23)i−1⋅(13)E=\sum_{i=1}^{\infty}i\cdot(\dfrac{2}{3})^{i-1}\cdot(\dfrac{1}{3}) E=i=1∑∞ i⋅(32 )i−1⋅(31 )
2.2. 希望破灭
当我把这个无穷级数 EEE 拿给我的数学大佬（可惜他不知道这个站）的时候，他：
“你给我解释清楚！你这是什么？我不会，我问了隔壁班大佬，他也不会。你这个是什么意思？”
我原本想要把这个无穷级数给他看看，希望他能够帮我求出结果。没想到他也不会……
过了几天，他告诉我：
“Python跑过了，你那天的最后一小问求级数和那个 EEE 貌似不收敛”
好吧，看来确实有点问题。
因为我自己试图用放缩求出它的范围，但可惜找不到一个合适的放缩方式证明其敛散性。
不过个人试图利用比式判别法证明：
令 ai=i⋅(23)i−1⋅(13)a_i=i\cdot(\dfrac{2}{3})^{i-1}\cdot(\dfrac{1}{3})ai =i⋅(32 )i−1⋅(31 )，则：
r=limn→∞∣an+1an∣=limn→∞(n+1)(23)n(13)n(23)n−1(13)r=\lim_{n\to\infty}|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}|=\lim_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)(\dfrac{2}{3})^n(\dfrac{1}{3})}{n(\dfrac{2}{3})^{n-1}(\dfrac{1}{3})} r=n→∞lim ∣an an+1 ∣=n→∞lim n(32 )n−1(31 )(n+1)(32 )n(31 )
把数列后面部分抽象成一个等比数列，只需要让公比 r∈(0,1)r\in(0,1)r∈(0,1) 即可。现在只需要证明极限 r∈(0,1)r\in(0,1)r∈(0,1)。
r=limn→∞23⋅n+1n=23∈(0,1)r=\lim_{n\to\infty}\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{n+1}{n}=\dfrac{2}{3}\in(0,1) r=n→∞lim 32 ⋅nn+1 =32 ∈(0,1)
我感觉他可能哪一步写错了吧
2.3. 回归原始
不过大佬说的也不是没有一点用。
很明显上面有一个地方是我想错了：平局概率确实是 13\dfrac{1}{3}31 ，但是不平局如果赢了那么得分直接到 222 分，故只能是输了，概率依旧是 13\dfrac{1}{3}31 ！
因此：
E=∑i=1∞i⋅(13)iE=\sum_{i=1}^{\infty}i\cdot(\dfrac{1}{3})^i E=i=1∑∞ i⋅(31 )i
3. 新思路
3.1. PY佬行为，请勿模仿！
大佬还给了我一个启发：为什么不考虑使用Python呢？
于是，我发挥了我作为一名Py佬的本领，写了一点代码，运行，结果如下：
可以看见，结果竟然是在 32\dfrac{3}{2}23 左右！
那么说明我的列式可能没有错，那么错在了哪里呢？只能是放缩出了问题！
3.2. 无奈的思绪
喂给豆包后，我恍然：原来问题真的出现在放缩的过程中！
我对于自己这个低级错误感到无奈。
下面提供正确的放缩过程（来源：豆包）：
先对无穷级数 BBB 进行正确的恒等变形：
B=∑i=1∞2i−1(13)i=12∑i=1∞(23)iB=\sum_{i=1}^{\infty}2^{i-1}(\dfrac{1}{3})^i=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^i B=i=1∑∞ 2i−1(31 )i=21 i=1∑∞ (32 )i
左右同时乘上 23\dfrac{2}{3}32 ：
23B=12∑i=2∞(23)i\dfrac{2}{3}B=\dfrac{1}{2}\sum_{i=2}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^i 32 B=21 i=2∑∞ (32 )i
错位相减：
B−23B=12∑i=1∞(23)i−12∑i=2∞(23)iB-\dfrac{2}{3}B=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^i-\dfrac{1}{2}\sum_{i=2}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^i B−32 B=21 i=1∑∞ (32 )i−21 i=2∑∞ (32 )i
化简：
13B=12×23\dfrac{1}{3}B=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3} 31 B=21 ×32
因此：
B=1B=1 B=1
等等…… B=1B=1B=1？这牢布斯的逗包给我干哪儿来了？这还是国内吗？
那我这放缩后求值不是一样的吗？没区别啊？那么我放缩哪里出问题了？
这才是真正的无奈的思绪。。。
无奈……何止无奈！我的无语声震耳欲聋
3.3. 不要再装PY佬了！
好吧。正如你所见，这是我那个大佬朋友给我的建议——之后我自己告诉自己的一条建议
经过我一番搜寻，终于发现——啊好吧我就不应该改掉我原本的Python代码。
原因出在多乘的 i+1i+1i+1 一项上。我原本的代码使对的，如下：
好吧，肉眼可见，这个级数是收敛于 34\dfrac{3}{4}43 的。
豆包给了我一番精彩无比的推导：
E=∑i=1∞i⋅(13)iE=\sum_{i=1}^{\infty}i\cdot(\dfrac{1}{3})^i E=i=1∑∞ i⋅(31 )i
本质可以套用等比数列求和：
13E=∑i=1∞i⋅(13)i+1=∑i=2∞(i−1)(13)i\dfrac{1}{3}E=\sum_{i=1}^{\infty}i\cdot(\dfrac{1}{3})^{i+1}=\sum_{i=2}^{\infty}(i-1)(\dfrac{1}{3})^i 31 E=i=1∑∞ i⋅(31 )i+1=i=2∑∞ (i−1)(31 )i
错位相减：
23E=∑i=1∞(13)i\dfrac{2}{3}E=\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i 32 E=i=1∑∞ (31 )i
为了好描述一些，令 S=23ES=\dfrac{2}{3}ES=32 E，则：
13S=∑i=2∞(13)i\dfrac{1}{3}S=\sum_{i=2}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i 31 S=i=2∑∞ (31 )i
再次错位相减：
23S=13\dfrac{2}{3}S=\dfrac{1}{3} 32 S=31
故：
S=12S=\dfrac{1}{2} S=21
即：
23E=12\dfrac{2}{3}E=\dfrac{1}{2} 32 E=21
因此：
E=34E=\dfrac{3}{4} E=43
可以……但我不甘心啊，这么朴素而又神奇的解法我居然没想到！我承认我是勒瑟。
“好吧，既然你不甘心，那么——试试看！用其他方法说不定也能够做出来呢！”
4. 不甘&奋斗
4.1. 起跑线
考虑到以前看过有关生成函数的视频，那么这个能否用生成函数做呢？
答案是：试试看！说不定呢！
4.2. 一个糟糕的选择
我看这个 13\dfrac{1}{3}31 不顺眼很久了！既然你那么耀眼，不如……直接给我变成历史吧！
于是，我令 xxx 来替换掉 13\dfrac{1}{3}31 ，然后构造生成函数：
E(x)=∑i=1∞i⋅xiE(x)=\sum_{i=1}^{\infty}i\cdot x^i E(x)=i=1∑∞ i⋅xi
众所周知，生成函数是要应用到求导的，所以不妨直接开导：
E′(x)=∑i=1∞i2⋅xi−1E'(x)=\sum_{i=1}^{\infty}i^2\cdot x^{i-1} E′(x)=i=1∑∞ i2⋅xi−1
。。。
我的无语声震耳欲聋！
这怎么还有平方了啊！
事实证明，采用这个方式真的很愚蠢：将 xnx^nxn 求导变成 nxn−1nx^{n-1}nxn−1，必然多了一项！
后来，我还试图把它变形为 (i−1)xi(i-1)x^i(i−1)xi，但问题依旧没有变！
这是一个糟糕的选择！
4.3. 大胆的决定
转念一想：我能不能用 xxx 来替换 333 然后变形为 i⋅x−ii\cdot x^{-i}i⋅x−i 呢？
很可惜，想法不先进，也不可行，结果只是变成了 −i2-i^2−i2 倍，不能消掉 iii！
那么，有没有办法能够把指数变成 1i\dfrac{1}{i}i1 呢？
不行。至少我不知道任何可行的方法。
到这里，我忽然有了一个大胆的决定：如果我不考虑用导数，而是利用积分呢？
嗯，好吧，如果成功了，那么也好歹是一个创新；如果没成功那也不算太糟糕，至少还有我为此付出的努力和尝试。
由于 xnx^nxn 的导数为 nxn−1nx^{n-1}nxn−1，那么只需要构造出 nxn−1nx^{n-1}nxn−1，就可以得到：
∫nxn−1dx=xn\int nx^{n-1}dx=x^n ∫nxn−1dx=xn
此处为了后续计算方便，忽略了常数项。
也就是说，因为：
E(x)=∑i=1∞i⋅xiE(x)=\sum_{i=1}^{\infty}i\cdot x^i E(x)=i=1∑∞ i⋅xi
所以为了构造出对应形式，我或许可以这样子进行变形：
E(x)=∑i=1∞(i+1)xi−∑i=1∞xiE(x)=\sum_{i=1}^{\infty}(i+1)x^i-\sum_{i=1}^{\infty}x^i E(x)=i=1∑∞ (i+1)xi−i=1∑∞ xi
实际上我的目标很明确：求出 E(x)E(x)E(x) 关于 xxx 的表达式
因为减号后半部分明显是一个公比为 xxx 的等比数列，所以我只需要求出减号前半部分的解析式即可。
构造：
f(x)=∑i=1∞(i+1)xif(x)=\sum_{i=1}^{\infty}(i+1)x^i f(x)=i=1∑∞ (i+1)xi
积分（忽略常数项）：
F(x)=∫∑i=1∞(i+1)xidxF(x)=\int\sum_{i=1}^{\infty}(i+1)x^idx F(x)=∫i=1∑∞ (i+1)xidx
变形：
F(x)=∑i=1∞∫(i+1)xidxF(x)=\sum_{i=1}^{\infty}\int(i+1)x^idx F(x)=i=1∑∞ ∫(i+1)xidx
化简：
F(x)=∑i=1∞xi+1=∑i=2∞xiF(x)=\sum_{i=1}^{\infty}x^{i+1}=\sum_{i=2}^{\infty}x^i F(x)=i=1∑∞ xi+1=i=2∑∞ xi
依旧是一个等比数列求和，注意到这里公比 x=13∈(0,1)x=\dfrac{1}{3}\in(0,1)x=31 ∈(0,1)：
xF(x)=∑i=2∞xi+1=∑i=3∞xixF(x)=\sum_{i=2}^{\infty}x^{i+1}=\sum_{i=3}^{\infty}x^i xF(x)=i=2∑∞ xi+1=i=3∑∞ xi
错位相减：
(1−x)F(x)=x2(1-x)F(x)=x^2 (1−x)F(x)=x2
化简：
F(x)=x21−xF(x)=\dfrac{x^2}{1-x} F(x)=1−xx2
接下来所需要做的只是求 f(x)f(x)f(x)，也就是 F′(x)F'(x)F′(x)
根据商法则，有：
f(x)=F′(x)=(1−x)(2x)−(x2)(−1)(1−x)2f(x)=F'(x)=\dfrac{(1-x)(2x)-(x^2)(-1)}{(1-x)^2} f(x)=F′(x)=(1−x)2(1−x)(2x)−(x2)(−1)
化简：
f(x)=2x−2x2+x2(1−x)2=−x2+2xx2−2x+1=−1+1(1−x)2f(x)=\dfrac{2x-2x^2+x^2}{(1-x)^2}=\dfrac{-x^2+2x}{x^2-2x+1}=-1+\dfrac{1}{(1-x)^2} f(x)=(1−x)22x−2x2+x2 =x2−2x+1−x2+2x =−1+(1−x)21
减号后半部分就更简单了，构造：
g(x)=∑i=1∞xig(x)=\sum_{i=1}^{\infty}x^i g(x)=i=1∑∞ xi
这是一个标准的等比数列求和，公式为 g(x)=x1−xg(x)=\dfrac{x}{1-x}g(x)=1−xx
因此，合并：
E(x)=f(x)−g(x)=−1+1(1−x)2−x1−xE(x)=f(x)-g(x)=-1+\dfrac{1}{(1-x)^2}-\dfrac{x}{1-x} E(x)=f(x)−g(x)=−1+(1−x)21 −1−xx
带入 x=13x=\dfrac{1}{3}x=31 的话呢？
E=E(13)=−1+1(1−13)2−131−13=−1+94−12=34E=E(\dfrac{1}{3})=-1+\dfrac{1}{(1-\dfrac{1}{3})^2}-\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{3}}=-1+\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4} E=E(31 )=−1+(1−31 )21 −1−31 31 =−1+49 −21 =43
激动人心！居然对了！！！！！
5. 总结
5.1. 意义不明
确实，你不是要证明期望是 333 吗？为什么在搞这个？
但我认为，自从我列出 EEE 那个无穷级数开始，其意义就不在于证明期望的值了，而是求出无穷级数
尤其是当我自己研究处积分法代替导数法处理生成函数的时候，一切的一切，都在此得到升华
5.2. 鸣谢
感谢出题人、大佬朋友、Python等大力支持！！！
