0. 防偷窥

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1. 最初的起点

1.1. 心中的疑惑

我重生了。上一世因为我的数学不太好，所以被我的第二人格——数学学得贼好的那个人格——给予了一次重新来过的机会。

于是这一世，我恶补数学，想要靠这个来成为一名数学大佬。

只可惜……奈何身边大佬学的特别超前，直接把我变成了唯一的数学勒瑟。

起因是这样的两道题：

原题链接：石头剪刀布（easy ver.）石头剪刀布（hard ver.）

我不知道为什么样例 $x=1$ 的期望是 $3$ 局，于是有了下面的故事：

1.2. 启程

对于样例 $x=1$，我的理解如下：

因为要 恰好 达到 $1$ 分，所以只可能是一次平局

可能是一局达到平局，期望为 $\dfrac{1}{3}\times1$

可能是两局，第一局输了没有得分，第二局平局，期望为 $\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}\times2$

可能是三局，前两局输了没有得分，第三局平局，期望为 $(\dfrac{1}{3})^3\times3$

可能是四局，前三局输了没有得分，第四局平局，期望为 $(\dfrac{1}{3})^4\times3$

可能是……

因此，使得 $x=1$ 的期望局数为 $E=\dfrac{1}{3}\times1+(\dfrac{1}{3})^2\times2+(\dfrac{1}{3})^3\times3+\cdots$

化简：

$$E=\sum_{i=1}^{\infty}i\cdot(\dfrac{1}{3})^i$$

1.3. 放缩之旅

由于原级数较难求值，考虑进行放缩。

明显有：

$$\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i<E<\sum_{i=1}^{\infty}2^{i-1}(\dfrac{1}{3})^i$$

令 $\displaystyle A=\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i,\,\,B=\sum_{i=1}^{\infty}2^{i-1}(\dfrac{1}{3})^i$

先考虑化简 $A$

左右两边同时乘上 $\dfrac{1}{3}$，得到：

$$\dfrac{1}{3}A=\dfrac{1}{3}\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i=\sum_{i=2}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i$$

错位相减：

$$A-\dfrac{1}{3}A=\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i-\sum_{i=2}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i$$

化简：

$$\dfrac{2}{3}A=\dfrac{1}{3}$$

因此：

$$A=\dfrac{1}{2}$$

接着考虑化简 $B$

先对其进行变形：

$$B=\sum_{i=1}^{\infty}2^{i-1}(\dfrac{1}{3})^i=\dfrac{1}{3}\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^{i-1}=\dfrac{1}{3}\sum_{i=0}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^i$$

左右同时乘上 $\dfrac{2}{3}$：

$$\dfrac{2}{3}B=\dfrac{1}{3}\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^i$$

错位相减：

$$B-\dfrac{2}{3}B=\dfrac{1}{3}\sum_{i=0}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^i-\dfrac{1}{3}\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^i$$

化简：

$$\dfrac{1}{3}B=\dfrac{1}{3}\times1$$

因此：

$$B=1$$

所以，有 $\dfrac{1}{2}<E<1$

2. 问题所在？

2.1. 新的希望？

有一件诡异的事情：至少也需要 $1$ 局才能够得分，为什么算出来的期望却是在 $(\dfrac{1}{2},1)$ 之间？

这个问题来自于评论区大佬。我然后也意识到了问题的严重性。

不过，我想到了问题产生的可能原因：为什么两局的期望是 $\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}\times2$

很明显的一点，平局概率只是 $\dfrac{1}{3}$，那么没有平局的概率就只能是 $1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$

因此，作出更正：

$$E\neq\sum_{i=1}^{\infty}i\cdot(\dfrac{1}{3})^i$$

$$E=\sum_{i=1}^{\infty}i\cdot(\dfrac{2}{3})^{i-1}\cdot(\dfrac{1}{3})$$

2.2. 希望破灭

当我把这个无穷级数 $E$ 拿给我的数学大佬（可惜他不知道这个站）的时候，他：

“你给我解释清楚！你这是什么？我不会，我问了隔壁班大佬，他也不会。你这个是什么意思？”

我原本想要把这个无穷级数给他看看，希望他能够帮我求出结果。没想到他也不会……

过了几天，他告诉我：

“Python跑过了，你那天的最后一小问求级数和那个 $E$ 貌似不收敛”

好吧，看来确实有点问题。

因为我自己试图用放缩求出它的范围，但可惜找不到一个合适的放缩方式证明其敛散性。

不过个人试图利用比式判别法证明：

令 $a_i=i\cdot(\dfrac{2}{3})^{i-1}\cdot(\dfrac{1}{3})$，则：

$$r=\lim_{n\to\infty}|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}|=\lim_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)(\dfrac{2}{3})^n(\dfrac{1}{3})}{n(\dfrac{2}{3})^{n-1}(\dfrac{1}{3})}$$

把数列后面部分抽象成一个等比数列，只需要让公比 $r\in(0,1)$ 即可。现在只需要证明极限 $r\in(0,1)$。

$$r=\lim_{n\to\infty}\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{n+1}{n}=\dfrac{2}{3}\in(0,1)$$

我感觉他可能哪一步写错了吧

2.3. 回归原始

不过大佬说的也不是没有一点用。

很明显上面有一个地方是我想错了：平局概率确实是 $\dfrac{1}{3}$，但是不平局如果赢了那么得分直接到 $2$ 分，故只能是输了，概率依旧是 $\dfrac{1}{3}$！

因此：

$$E=\sum_{i=1}^{\infty}i\cdot(\dfrac{1}{3})^i$$

3. 新思路

3.1. Py佬行为，请勿模仿！

大佬还给了我一个启发：为什么不考虑使用Python呢？

于是，我发挥了我作为一名Py佬的本领，写了一点代码，运行，结果如下：

可以看见，结果竟然是在 $\dfrac{3}{2}$ 左右！

那么说明我的列式可能没有错，那么错在了哪里呢？只能是放缩出了问题！

3.2. 无奈的思绪

喂给豆包后，我恍然：原来问题真的出现在放缩的过程中！

我对于自己这个低级错误感到无奈。

下面提供正确的放缩过程（来源：豆包）：

先对无穷级数 $B$ 进行正确的恒等变形：

$$B=\sum_{i=1}^{\infty}2^{i-1}(\dfrac{1}{3})^i=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^i$$

左右同时乘上 $\dfrac{2}{3}$：

$$\dfrac{2}{3}B=\dfrac{1}{2}\sum_{i=2}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^i$$

错位相减：

$$B-\dfrac{2}{3}B=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^i-\dfrac{1}{2}\sum_{i=2}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^i$$

化简：

$$\dfrac{1}{3}B=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}$$

因此：

$$B=1$$

等等…… $B=1$？这牢布斯的逗包给我干哪儿来了？这还是国内吗？

那我这放缩后求值不是一样的吗？没区别啊？那么我放缩哪里出问题了？

这才是真正的无奈的思绪。。。

无奈……何止无奈！我的无语声震耳欲聋

3.3. 不要再装Py佬了！

好吧。正如你所见，这是我那个大佬朋友给我的建议——之后我自己告诉自己的一条建议

经过我一番搜寻，终于发现——啊好吧我就不应该改掉我原本的Python代码。

原因出在多乘的 $i+1$ 一项上。我原本的代码使对的，如下：

好吧，肉眼可见，这个级数是收敛于 $\dfrac{3}{4}$ 的。

豆包给了我一番精彩无比的推导：

$$E=\sum_{i=1}^{\infty}i\cdot(\dfrac{1}{3})^i$$

本质可以套用等比数列求和：

$$\dfrac{1}{3}E=\sum_{i=1}^{\infty}i\cdot(\dfrac{1}{3})^{i+1}=\sum_{i=2}^{\infty}(i-1)(\dfrac{1}{3})^i$$

错位相减：

$$\dfrac{2}{3}E=\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i$$

为了好描述一些，令 $S=\dfrac{2}{3}E$，则：

$$\dfrac{1}{3}S=\sum_{i=2}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i$$

再次错位相减：

$$\dfrac{2}{3}S=\dfrac{1}{3}$$

故：

$$S=\dfrac{1}{2}$$

即：

$$\dfrac{2}{3}E=\dfrac{1}{2}$$

因此：

$$E=\dfrac{3}{4}$$

可以……但我不甘心啊，这么朴素而又神奇的解法我居然没想到！我承认我是勒瑟。

“好吧，既然你不甘心，那么——试试看！用其他方法说不定也能够做出来呢！”

4. 不甘&奋斗

4.1. 起跑线

考虑到以前看过有关生成函数的视频，那么这个能否用生成函数做呢？

答案是：试试看！说不定呢！

4.2. 一个糟糕的选择

我看这个 $\dfrac{1}{3}$ 不顺眼很久了！既然你那么耀眼，不如……直接给我变成历史吧！

于是，我令 $x$ 来替换掉 $\dfrac{1}{3}$，然后构造生成函数：

$$E(x)=\sum_{i=1}^{\infty}i\cdot x^i$$

众所周知，生成函数是要应用到求导的，所以不妨直接开导：

$$E'(x)=\sum_{i=1}^{\infty}i^2\cdot x^{i-1}$$

。。。

我的无语声震耳欲聋！

这怎么还有平方了啊！

事实证明，采用这个方式真的很愚蠢：将 $x^n$ 求导变成 $nx^{n-1}$，必然多了一项！

后来，我还试图把它变形为 $(i-1)x^i$，但问题依旧没有变！

这是一个糟糕的选择！

4.3. 大胆的决定

转念一想：我能不能用 $x$ 来替换 $3$ 然后变形为 $i\cdot x^{-i}$ 呢？

很可惜，想法不先进，也不可行，结果只是变成了 $-i^2$ 倍，不能消掉 $i$！

那么，有没有办法能够把指数变成 $\dfrac{1}{i}$ 呢？

不行。至少我不知道任何可行的方法。

到这里，我忽然有了一个大胆的决定：如果我不考虑用导数，而是利用积分呢？

嗯，好吧，如果成功了，那么也好歹是一个创新；如果没成功那也不算太糟糕，至少还有我为此付出的努力和尝试。

由于 $x^n$ 的导数为 $nx^{n-1}$，那么只需要构造出 $nx^{n-1}$，就可以得到：

$$\int nx^{n-1}dx=x^n$$

此处为了后续计算方便，忽略了常数项。

也就是说，因为：

$$E(x)=\sum_{i=1}^{\infty}i\cdot x^i$$

所以为了构造出对应形式，我或许可以这样子进行变形：

$$E(x)=\sum_{i=1}^{\infty}(i+1)x^i-\sum_{i=1}^{\infty}x^i$$

实际上我的目标很明确：求出 $E(x)$ 关于 $x$ 的表达式

因为减号后半部分明显是一个公比为 $x$ 的等比数列，所以我只需要求出减号前半部分的解析式即可。

构造：

$$f(x)=\sum_{i=1}^{\infty}(i+1)x^i$$

积分（忽略常数项）：

$$F(x)=\int\sum_{i=1}^{\infty}(i+1)x^idx$$

变形：

$$F(x)=\sum_{i=1}^{\infty}\int(i+1)x^idx$$

化简：

$$F(x)=\sum_{i=1}^{\infty}x^{i+1}=\sum_{i=2}^{\infty}x^i$$

依旧是一个等比数列求和，注意到这里公比 $x=\dfrac{1}{3}\in(0,1)$：

$$xF(x)=\sum_{i=2}^{\infty}x^{i+1}=\sum_{i=3}^{\infty}x^i$$

错位相减：

$$(1-x)F(x)=x^2$$

化简：

$$F(x)=\dfrac{x^2}{1-x}$$

接下来所需要做的只是求 $f(x)$，也就是 $F'(x)$

根据商法则，有：

$$f(x)=F'(x)=\dfrac{(1-x)(2x)-(x^2)(-1)}{(1-x)^2}$$

化简：

$$f(x)=\dfrac{2x-2x^2+x^2}{(1-x)^2}=\dfrac{-x^2+2x}{x^2-2x+1}=-1+\dfrac{1}{(1-x)^2}$$

减号后半部分就更简单了，构造：

$$g(x)=\sum_{i=1}^{\infty}x^i$$

这是一个标准的等比数列求和，公式为 $g(x)=\dfrac{x}{1-x}$

因此，合并：

$$E(x)=f(x)-g(x)=-1+\dfrac{1}{(1-x)^2}-\dfrac{x}{1-x}$$

带入 $x=\dfrac{1}{3}$ 的话呢？

$$E=E(\dfrac{1}{3})=-1+\dfrac{1}{(1-\dfrac{1}{3})^2}-\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{3}}=-1+\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}$$

激动人心！居然对了！！！！！

5. 总结

5.1. 意义不明

确实，你不是要证明期望是 $3$ 吗？为什么在搞这个？

但我认为，自从我列出 $E$ 那个无穷级数开始，其意义就不在于证明期望的值了，而是求出无穷级数

尤其是当我自己研究处积分法代替导数法处理生成函数的时候，一切的一切，都在此得到升华

5.2. 鸣谢

感谢出题人、大佬朋友、Python等大力支持！！！