背景知识
学导数之前，先别急着背公式。先记住一句话：
> 导数研究的是：一个量变化时，它“瞬时”变化得有多快。
我们从最常见的问题开始。一辆汽车从 t=0t=0t=0 到 t=2t=2t=2 小时走了 120120120 千米，平均速度是
vˉ=120−02−0=60 千米/时.\bar v=\frac{120-0}{2-0}=60\ \text{千米/时}. vˉ=2−0120−0 =60 千米/时.
这叫平均速度。但如果你想知道汽车在 t=1t=1t=1 小时“这一瞬间”到底开得多快，平均速度就不够用了。因为平均速度看的是一段时间，而瞬时速度看的是一个时刻。
怎么刻画“某一瞬间”的速度？思路是：先看一小段时间，再让这段时间无限缩短。
设路程函数是 s(t)s(t)s(t)，在时刻 t0t_0t0 附近取一个很小的变化量 Δt\Delta tΔt，那么从 t0t_0t0 到 t0+Δtt_0+\Delta tt0 +Δt 的平均速度是
s(t0+Δt)−s(t0)Δt.\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}. Δts(t0 +Δt)−s(t0 ) .
当 Δt\Delta tΔt 越来越接近 000 时，这个平均速度会越来越接近某个数，这个数就是时刻 t0t_0t0 的瞬时速度。这个“无限逼近”的过程，就是导数的核心思想。
把路程函数换成一般的函数 f(x)f(x)f(x)，于是有：
f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx.f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}. f′(x0 )=Δx→0lim Δxf(x0 +Δx)−f(x0 ) .
这就是函数 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 处的导数。记号 f′(x0)f'(x_0)f′(x0 ) 读作“fff 在 x0x_0x0 处的导数”。
你可以把导数理解成三个层次：
1. 代数上：它是函数值改变量与自变量改变量之比的极限；
2. 几何上：它是曲线 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在点 (x0,f(x0))(x_0,f(x_0))(x0 ,f(x0 )) 处切线的斜率；
3. 物理上：如果 s(t)s(t)s(t) 是路程，那么 s′(t)s'(t)s′(t) 就是瞬时速度。
举个最简单的例子。设
f(x)=x2,f(x)=x^2, f(x)=x2,
求 f(x)f(x)f(x) 在 x=1x=1x=1 处的导数。先算平均变化率：
f(1+Δx)−f(1)Δx=(1+Δx)2−1Δx=1+2Δx+(Δx)2−1Δx=2+Δx.\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x} =\frac{(1+\Delta x)^2-1}{\Delta x} =\frac{1+2\Delta x+(\Delta x)^2-1}{\Delta x} =2+\Delta x. Δxf(1+Δx)−f(1) =Δx(1+Δx)2−1 =Δx1+2Δx+(Δx)2−1 =2+Δx.
当 Δx→0\Delta x\to 0Δx→0 时，2+Δx→22+\Delta x\to 22+Δx→2，所以
f′(1)=2.f'(1)=2. f′(1)=2.
几何上，这表示曲线 y=x2y=x^2y=x2 在点 (1,1)(1,1)(1,1) 处的切线斜率是 222。
等你理解了“导数就是瞬时变化率”，再记下面这些基本公式就会顺很多：
函数 f(x)f(x)f(x) 导数 f′(x)f'(x)f′(x) 备注 CCC 000 常函数 xnx^nxn nxn−1nx^{n-1}nxn−1 n∈Rn\in\mathbb Rn∈R，定义域内 x\sqrt{x}x 12x\dfrac{1}{2\sqrt{x}}2x 1 x>0x>0x>0 1x\dfrac{1}{x}x1 −1x2-\dfrac{1}{x^2}−x21 x≠0x\ne 0x=0 exe^xex exe^xex axa^xax axlnaa^x\ln aaxlna a>0, a≠1a>0,\ a\ne 1a>0, a=1 lnx\ln xlnx
1x\dfrac{1}{x}x1 x>0x>0x>0 logax\log_a xloga x 1xlna\dfrac{1}{x\ln a}xlna1 x>0, a>0, a≠1x>0,\ a>0,\ a\ne 1x>0, a>0, a=1 sinx\sin xsinx cosx\cos xcosx cosx\cos xcosx −sinx-\sin x−sinx tanx\tan xtanx 1cos2x\dfrac{1}{\cos^2 x}cos2x1
