原文出处——小学二年级联合会
生活，我们的印象中是——普通的、朴实无华的。我们觉得数学，在日常生活中是用不到的，实则相反，数学其实渗透在生活的方方面面。这次，我们就以"概率"出发，来解析我们的生活吧！
> 【题目引入】 在一个不透明的盒子中有红、白球共10个，不知其具体数量。第一次拿出了一个红球，不放回，则再拿到一个红球的概率为多少？
看到这道题目，我们不妨提出疑惑——红、白球的具体数量目前未知，何以求出拿到红球的概率呢？
当理论上你不晓得如何求值或证明时，不妨先"实验检验真理"。由于实际模拟次数有上限且难以操作，这里就用程序快速模拟了一下：
23\boxed{\frac{2}{3}} 32
> [注：考虑到电脑算力问题，模拟次数建议小于 10610^6106]
而其证明其实也很简单，仅需一行即可完成——设 K∈{0,1,…,10}K\in\{0,1,\dots,10\}K∈{0,1,…,10}
P(第二红∣首红)=∑k=110k−19⋅k∑k=110k=1495∑k=110k(k−1)=330495=23P(\text{第二红}|\text{首红}) = \sum_{k=1}^{10} \frac{k-1}{9} \cdot \frac{k}{\sum_{k=1}^{10}k} = \frac{1}{495}\sum_{k=1}^{10}k(k-1) = \frac{330}{495} = \frac{2}{3} P(第二红∣首红)=k=1∑10 9k−1 ⋅∑k=110 kk =4951 k=1∑10 k(k−1)=495330 =32
证毕！
所以，这道题目的答案就是 23\frac{2}{3}32 。
此时，我相信有人要问了——如果红、白球的总数是一个不确定的数（>0>0>0 且为整数），那么 23\frac{2}{3}32 这一结果还成立吗？
这也可以简单的证明——
采用"无偏先验"，对每个可能的总数 NNN 给任意先验权重，且设 R∈{0,…,N}R\in\{0,\dots,N\}R∈{0,…,N}
P(第二红∣首红)=∑NP(N)1N+1∑r=1NrN⋅r−1N−1∑NP(N)1N+1∑r=1NrN=∑NP(N)1N+1⋅N+13∑NP(N)1N+1⋅N+12=1312=23P(\text{第二红}|\text{首红}) = \frac{\sum_N P(N)\frac{1}{N+1}\sum_{r=1}^{N}\frac{r}{N}\cdot\frac{r-1}{N-1}}{\sum_N P(N)\frac{1}{N+1}\sum_{r=1}^{N}\frac{r}{N}} = \frac{\sum_N
P(N)\frac{1}{N+1}\cdot\frac{N+1}{3}}{\sum_N P(N)\frac{1}{N+1}\cdot\frac{N+1}{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} P(第二红∣首红)=∑N P(N)N+11 ∑r=1N Nr ∑N P(N)N+11 ∑r=1N Nr ⋅N−1r−1 =∑N P(N)N+11 ⋅2N+1 ∑N P(N)N+11 ⋅3N+1 =21 31 =32
证毕！
所以，这道题的普遍规律为——无论总数，在不知道具体分布时，第二次发生事件与第一次相同（双项）的概率为 23\frac{2}{3}32 ，占大多数。
而生活中也是如此，你以为这次你没中彩票，下一次中彩票的概率会变大吗？并不是！下一次你反而只有比第一次中彩票概率少 13\frac{1}{3}31 的可能性拿到彩票了！而当你懂了数学，用概率推出了这一事实，你便不会傻傻地去认为你下一次能够"翻盘"了。举个例子，你的前桌小A今天欺负你了（若今天为第一天），那么明天有 23\frac{2}{3}32 的可能是他还会继续欺负你，而非你想的会放过你……
那么，这个问题就结束了吗？不！
若前两次都拿出了红球，第三次拿到红球的概率为多少？第四次呢？
○ ○ ○ ○ ○ ○\text{○ ○ ○ ○ ○ ○} ○ ○ ○ ○ ○ ○
计算中……计算中…… 计算中……
终于，通过烦琐的计算，我们得出了 34\frac{3}{4}43 与 45\frac{4}{5}54 这两个问题的答案。让我们来找找规律？
P(第N球为红)=NN+1P(\text{第}N\text{球为红}) = \frac{N}{N+1} P(第N球为红)=N+1N
理论的证明很难，但程序是万能的，通过 C++ 的模拟很快便能发现这一规律。于是，一个新发现诞生了！
难道，我真的开辟了一个"新大陆"吗？其实不是。查阅了网络资料，我发现其实这就是我们小学二年级就学过的——贝塔-二项模型（Beta-Binomial model）。它的定义：设红球比例 p∼Uniform(0,1)p\sim\text{Uniform}(0,1)p∼Uniform(0,1)，那么观察到有 kkk 个红球，mmm 个白球后，后验分布为：
P∣数据∼Beta(1+k,1+m)P|\text{数据} \sim \text{Beta}(1+k, 1+m) P∣数据∼Beta(1+k,1+m)
∴下一次红球的期望概率为
E[p∣数据]=k+1k+m+2E[p|\text{数据}] = \frac{k+1}{k+m+2} E[p∣数据]=k+m+2k+1
我们可以代入一组数据举例，如果你已拿出 6 个红球，4 个白球，那
么下一次拿到红球的可能性就是：
E[p∣数据]=k+1k+m+2=6+16+4+2=712E[p|\text{数据}] = \frac{k+1}{k+m+2} = \frac{6+1}{6+4+2} = \frac{7}{12} E[p∣数据]=k+m+2k+1 =6+4+26+1 =127
于是，这也可以用到生活当中去了。如果你考了 7 次试，其中 3 次你及格了，那么你便可以轻松算出你下一次考试及格的概率为 49\frac{4}{9}94 ；同样的，你还能用这个去计算各种各样的事物，比如若你用贝塔-二项模型算出你下一次有 1517\frac{15}{17}1715 的概率成功时，为何还犹豫呢？当你发现自己只有 15\frac{1}{5}51 的概率不会上当受骗时，你还会走老路吗……
综上，我们便可以看出。数学，虽然有时能在理论上使你崩溃，但它在实际运用中的价值之大不可忽视！
回到话题本身，用数学的视角看待生活，用概率解析我们的生活，令一个个公式都不再烦琐，而照耀在我们身边每个角落。这，就是"理"之魅力！
> [完]（ 本人此时精神状态难以形容）
