由于现在CSP的排列组合题越来越多了，平均一份都有2题，临近考试，我来讲一下排列组合的题目
应该大部分人都知道排列数A和组合数C，不过我还是讲一下
ANM=N!(N−M)!A_N^M = \FRAC{N!}{(N-M)!}ANM =(N−M)!N!
***=N!M!(N−M)!C_N^M = \FRAC{N!}{M!(N-M)!}*** =M!(N−M)!N!
A的原理就是在N个人中M个人排序的种类数
C的原理就是在N个人中挑M个人的种类数
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先看一道很简单的例题（来源：CSP-J2019）
这道题大家应该都会吧，只需要考虑最坏情况：3 3 3 4就好了
所以答案选A
这就是最基础的排列组合
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再看（来源：CSP-J2020）
此题首先把10个三好学生分为7份，所以使用插板法，在9个空格选6个插板，所以有C96=84C_9^6=84C96 =84种分配方案
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再看（来源：CSP-J2021）
此题很简单，先在6个人中选2个，然后在剩下4个人中选2个,然后除A33A_3^3A33 判重
C62×C42A33=15\FRAC{C_6^2 \TIMES C_4^2}{A_3^3}=15A33 C62 ×C42 =15
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再看例题（来源：CSP-J2020）
这是一道经典的捆绑法的题目
首先我们把这对双胞胎看做一个整体
所以可以看做有4个人，但是双胞胎最后还要排序
所以列出式子：
A44×A22=48A_4^4 \TIMES A_2^2=48A44 ×A22 =48
这也是一道很基础的题目
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再看（来源：SJZ08提供的CSP-J模拟卷）
这道题目要分两种情况考虑
有4个空位，要填入0、1、2、3，首位不能为0，必须包含1、2、3
第一种：先找3个位置，但是包含一号位，所以有C32C_3^2C32 种位子选择，然后1、2、3排序，所以再乘A33A_3^3A33 ，剩下的位置选1、2、3，所以再乘上C31C_3^1C31 ，最后再手动判重(比如1 2 3 2和1 2 3 2）
C32×A33×C31=54C_3^2 \TIMES A_3^3 \TIMES C_3^1=54C32 ×A33 ×C31 =54
手动判重，1开头有四个：1 2 3 2、1 3 2 3、1 2 2 3、1 3 3 2
所以54-4*3=42种
第二种：和第一种一样，但是剩下的位置填0，不用判重，所以
C32×A33=18C_3^2 \TIMES A_3^3=18C32 ×A33 =18
答案：42+18=60
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再看（非CSP，仅排列组合练习题）
此题首先选出2个相邻的女生共C32C_3^2C32 种，然后2个相邻女生排序A22A_2^2A22 ，相邻女生的整体和单独女生排序A22A_2^2A22
接着就是4个整体的排序
我们把男生甲看做A，另一个男生看做B，两个相邻女生看做C，单独女生看做D
有由于左右调换不同，CD顺序已考虑不用管，所以有四种排法：
所以列出：
C32×A22×A22×4=48C_3^2 \TIMES A_2^2 \TIMES A_2^2 \TIMES 4=48C32 ×A22 ×A22 ×4=48
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看了那么多例题，我讲一下常用思路
1.特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素
2.寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可
3.先取再排（先分组再排列）：有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列
4.捆绑法：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可
5.插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑将剩余元素排好“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序
6.错位排列问题：设集合I={1,2,...,N}，所有元素的一种全排列T1,T2,...,TN，满足TI不等于I(I=1,2,...,N)，则称这样的排列T1,T2,...,TN为错位全排列。用DN表示I={1,2,...,N}的错位全排列总数，则
DN=N!(1−11!+12!−13!+...+(−1)N×1N!)D_N=N!(1-\FRAC{1}{1!}+\FRAC{1}{2!}-\FRAC{1}{3!}+...+(-1)^N \TIMES \FRAC{1}{N!})DN =N!(1−1!1 +2!1 −3!1 +...+(−1)N×N!1 )
极限为1E\FRAC{1}{E}E1
7.依次插空：如果在N个元素的排列中有M个元素保持相对位置不变，则可以考虑先将这M个元素排好位置，再将N-M哥元素一个个插入到队伍当中（注意每插入一个元素，下一个元素可选择的空+1）
8.不同元素分组：将N个元素放入M个不同的盒中有MNM^NMN种
9.相同元素分组：将N个相同元素放入M个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有CN−1M−1C_{N-1}^{M-1}CN−1M−1 种。对应问题是一次不定方程X1+X2+...+XN=R的非负整数解的个数等于CN+R−1RC_{N+R-1}^{R}CN+R−1R （或CN+R−1N−1C_{N+R-1}^{N-1}CN+R−1N−1 ）,正整数解的个数等于CR−1R−NC_{R-1}^{R-N}CR−1R−N
解决此类问题的方法是“挡板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这N个元素排成一列，共有（N-1）个空，使用（M-1）个挡板进入空挡处，则可将这N个元素划分为M个区域，刚好对应那M个盒子
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制作不易，希望对你们有帮助
分享一则笑话（洛谷神图）
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